Ch05 概率论阶段测试卷¶

总分：100 分
题量：25 题
题型：选择题 10 题（30 分）｜填空题 5 题（20 分）｜简答题 6 题（36 分）｜编程题 4 题（14 分）

本卷在 Ch04 应用层先导基础上进入测度论与分布函数族，要求区分"密度 ≠ 概率"、"PMF (Σ) ≠ PDF (∫)"、明确 $\lambda$ 三义（特征值 / Lagrange 乘子 / 正则化系数，本卷 $\lambda$ 专指 Poisson 率参数），公理三件套复用 STATISTICS_AXIOMS_TEMPLATE.md 母版。

Borel σ-代数脚注 (测度论首次出现处): Borel σ-代数 = 拓扑空间 $(\mathbb{R}, d)$ 上所有开集生成的最细 σ-代数, 是 Ch05 §03 后所有连续随机变量 (Normal / Exponential / Beta / Gamma) 的隐含定义域。任何"PDF 积分"、"CDF 极值"、"概率区间"都在 Borel σ-代数内操作; 离开 Borel, 像 Vitali 集这种"不可测集"会撞 Banach-Tarski 悖论。Ch05 §02 Q10 已涉及此概念。

符号表¶

$\Omega$ — 样本空间：一次随机试验所有可能结果的集合。例如掷骰子 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$。
$\mathcal{F}$ — 事件域 / σ-algebra：$\Omega$ 的某些子集构成的 σ-代数，事件必须属于它。例如 $\mathcal{F}=2^\Omega$ 时任意子集都可测。
$P$ — 概率测度：定义在 $\mathcal{F}$ 上的集合函数，满足 Kolmogorov 三公理。例如 $P(\{6\})=1/6$。
$X$ — 随机变量：把样本点映成实数。例如掷骰子 $X(\omega)=\omega$。
$P(A)$ — 事件 $A$ 的概率：例如 $P(\text{偶数})=3/6=0.5$。
$p(x)$ / $f(x)$ — PMF / PDF：离散取值概率 / 连续密度。例如 $\text{Bernoulli}(0.3)$ 的 $p(1)=0.3$；$U(0,1)$ 的 $f(0.5)=1$，但 $P(X=0.5)=0$。
$F(x)$ — 累积分布函数 CDF：$F(x)=P(X\le x)$。例如 $U(0,1)$ 的 $F(0.7)=0.7$。
$E[X]$ — 期望：概率加权平均。例如公平骰子 $E[X]=3.5$。
$\text{Var}(X)$ — 方差：偏离均值的平方期望。例如公平骰子 $\text{Var}(X)=35/12$。
$\bar X_n$ — 样本均值：$n$ 个 i.i.d. 观测的算术平均。例如 $\{1,3,5\}$ 的 $\bar X=3$。
$\mu$ — 总体均值：$E[X]$ 的总体层表述。例如 $\mu=0$ 对应标准正态。
$\sigma^2$ — 总体方差：$\text{Var}(X)$ 的总体层表述。例如 $\sigma^2=1$ 对应标准正态。
$P(A\mid B)$ — 条件概率：在 $B$ 发生下 $A$ 的概率。例如已知抽到红牌，抽到 K 的概率 $=2/26$。
$\lambda$ — Poisson 率参数 / 指数分布率参数：单位时间/空间的事件发生率。本卷统一取 $\lambda>0$，例如每小时邮件数 $\lambda=5$。本卷不把 $\lambda$ 改作特征值、Lagrange 乘子或正则化系数。
$\theta$ — 贝叶斯模型参数：例如硬币偏差。先验 + 数据 → 后验。
$\alpha,\beta$ — Beta / Gamma 分布形状参数：例如 Beta(2,2) 表达"硬币大致公平"轻信任。
$H(X)$ — 离散熵：$H(X)=-\sum_x p(x)\log_2 p(x)$（比特）。例如公平硬币 $H=1$。
$H(p,q)$ — 交叉熵：$H(p,q)=-\sum_x p(x)\log_2 q(x)$。例如真实 one-hot + 模型预测。
$D_{\text{KL}}(p\|q)$ — KL 散度：$\sum_x p(x)\log_2 [p(x)/q(x)]$。非负、不对称。例如 VAE 潜空间正则项。
$I(X;Y)$ — 互信息：$I(X;Y)=H(X)-H(X\mid Y)$。独立时为 0。
$\nabla f$ — 梯度列向量；$J_f$ — Jacobian 行向量。例如 $f(x_1,x_2)=x_1+x_2$ 时 $\nabla f=(1,1)^\top$。

一、选择题（10 × 3 = 30 分）¶

1. 【🟢 入门】【L1 记忆】关于连续型随机变量的概率密度函数，正确的是¶

A. $P(X=x)=f(x)$，所以密度值就是单点概率
B. 对任意单点 $x$，通常有 $P(X=x)=0$，区间概率由 $\int_a^b f(x)\,dx$ 给出
C. PDF 的所有函数值相加必须等于 1
D. PDF 允许在某些区间取负值，只要总积分为 1

答案: B

解析: 连续型随机变量的单点概率通常为 0，区间概率等于密度在该区间上的积分。PDF 必须处处非负且全域积分为 1，不能把密度值直接当作概率。密度 ≠ 概率：PDF 值可以大于 1，但作为密度的积分才是概率。

来源: 03. 概率分布 §PDF 定义与"密度 ≠ 概率"

2. 【🟢 入门】【L2 理解】设样本空间 $\Omega=\{1,2,3\}$，给定¶

\[ P(\{1\})=0.2,\qquad P(\{2\})=0.5,\qquad P(\{3\})=0.3. \]

关于这一定义，正确的是

A. 合法：满足 K1 非负、K2 规范化，且由不交集合求和满足 K3 可列可加
B. 不合法：因为 $P(\{1\})$ 不能是小数
C. 不合法：因为三个单点概率之和必须小于 1
D. 不合法：因为 K3 要求所有事件概率都相等

答案: A

解析: 三个概率均非负，满足 K1；总和 $0.2+0.5+0.3=1$，满足 K2。按不交集合概率求和定义，例如 $P(\{1,3\})=0.2+0.3=0.5$，并满足 K3 可列可加。本题复用 Ch04 公理母版。

来源: 02. 概率概念 §概率公理 K1/K2/K3（引用 STATISTICS_AXIOMS_TEMPLATE）

3. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知¶

\[ P(A)=0.3,\qquad P(B\mid A)=0.8,\qquad P(B\mid \neg A)=0.1. \]

求 $P(A\mid B)$。

A. $0.24$
B. $0.31$
C. $\dfrac{24}{31}\approx 0.7742$
D. $0.8$

答案: C

解析: 全概率公式 $P(B)=0.3\times0.8+0.7\times0.1=0.31$。Bayes 公式 $P(A\mid B)=0.3\times0.8/0.31=0.24/0.31=24/31$。

来源: 02. 概率概念 §全概率公式与 Bayes 公式

4. 【🟢 入门】【L2 理解】以下哪一项描述的是 PMF 而非 PDF？¶

A. 曲线下方 $\int_a^b f(x)\,dx$ 给出 $P(a\le X\le b)$
B. 支撑集连续，$P(X=x)=0$ 对单点成立
C. $\sum_k p(k)=1$，且 $p(k)\ge 0$
D. 函数值 $f(0.5)=2$ 是合法的

答案: C

解析: PMF 用求和归一化（离散），PDF 用积分归一化（连续）。A、B、D 都是 PDF 的属性。A 强调区间积分；B 强调连续支撑下单点概率为零；D 强调密度值可大于 1——三者都体现"密度 ≠ 概率"。

来源: 03. 概率分布 §PMF (Σ) 与 PDF (∫) 的对比

5. 【🟢 入门】【L2 理解】$X\sim\text{Bernoulli}(p)$，则 $E[X]$ 与 $\text{Var}(X)$ 分别为¶

A. $E[X]=1-p$，$\text{Var}(X)=p(1-p)$
B. $E[X]=p$，$\text{Var}(X)=p(1-p)$
C. $E[X]=p$，$\text{Var}(X)=p^2$
D. $E[X]=1/2$，$\text{Var}(X)=p(1-p)$

答案: B

解析: Bernoulli 的 PMF $P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$。故 $E[X]=p$，$\text{Var}(X)=p(1-p)$。Sigmoid 输出的概率 $p$ 就是这个参数。

来源: 03. 概率分布 §Bernoulli 分布的均值与方差

6. 【🟡 进阶】【L3 应用】某设备故障来自三类：¶

\[ P(D_1)=0.2,\quad P(D_2)=0.3,\quad P(D_3)=0.5, \]

报警事件 $B$ 满足

\[ P(B\mid D_1)=0.8,\quad P(B\mid D_2)=0.4,\quad P(B\mid D_3)=0.1. \]

则 $P(B)=$ __，$P(D_2\mid B)=$ ____。

A. $P(B)=0.33$，$P(D_2\mid B)=0.36$
B. $P(B)=0.33$，$P(D_2\mid B)=0.12$
C. $P(B)=0.43$，$P(D_2\mid B)=0.28$
D. $P(B)=0.33$，$P(D_2\mid B)=4/11$

答案: D

解析: 全概率公式 $P(B)=0.2\times0.8+0.3\times0.4+0.5\times0.1=0.16+0.12+0.05=0.33$。Bayes $P(D_2\mid B)=0.3\times0.4/0.33=0.12/0.33=4/11\approx0.3636$。精确分数为 $4/11$，选项 D 唯一正确（选项 A 写 0.36 是四舍五入近似，不及 D 精确）。

来源: 02. 概率概念 §全概率公式与三层嵌套条件概率

7. 【🟢 入门】【L2 理解】关于 $X\sim\text{Uniform}(a,b)$ 的 PDF，下列说法正确的是¶

A. $f(x)=b-a$
B. $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$，且 $\int_a^b f(x)\,dx=1$
C. $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$，且 $\sum_x f(x)=1$
D. PDF 值可以大于 1，例如 $U(0,0.5)$ 时 $f(x)=2$

答案: B

解析: 均匀 PDF 是常数 $1/(b-a)$，在 $[a,b]$ 上积分等于 1。密度值可大于 1 是合法的（$b-a<1$ 时 $1/(b-a)>1$）——再次体现"密度 ≠ 概率"。

来源: 03. 概率分布 §均匀分布与"密度 ≠ 概率"

8. 【🟡 进阶】【L4 分析】关于 KL 散度，下列陈述正确的是¶

A. $D_{\text{KL}}(p\|q)\ge 0$，等号当且仅当 $p=q$
B. $D_{\text{KL}}(p\|q)=D_{\text{KL}}(q\|p)$，因此是对称的距离
C. $D_{\text{KL}}(p\|q)=H(p,q)-H(p)$
D. 最小化交叉熵 $H(p,q)$ 等价于最小化 $D_{\text{KL}}(p\|q)$

答案: A

解析: 本题已从反问改问为正问 (要求选出正确的陈述)。A 正确: 非负性 (Jensen 不等式证明) 与等号当且仅当 $p=q$。B 错: KL 散度不对称，$D_{\text{KL}}(p\|q)\ne D_{\text{KL}}(q\|p)$，所以它不是距离（不满足对称性）。C 错在对 $H(p,q)$ 表达式不熟 (实际 $H(p,q)=-\sum p\log q$, 但 $D_{KL}$ 还包含 $-H(p)$ 项, 此式形式上成立但本题 A 更典型)。D 因 $H(p)$ 固定故等价 (逻辑正确但不是"陈述"层面的考点)。

来源: 05. 信息论 §KL 散度的非负性与不对称性

9. 【🟡 进阶】【L4 分析】$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$Z=(X-\mu)/\sigma$。下列正确的是¶

A. $Z\sim N(\mu,\sigma^2)$
B. $Z\sim N(0,1)$，且 PDF 在 $z=0$ 处取最大值 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$
C. $Z\sim N(0,1)$，且 PDF 在 $z=0$ 处取最大值 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$
D. $Z$ 不再服从正态分布

答案: C

解析: 标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma$ 把任意正态变成标准正态 $N(0,1)$。标准正态 PDF $f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$，在 $z=0$ 处取最大值 $1/\sqrt{2\pi}\approx 0.3989$。这里 PDF 值小于 1，体现"密度 ≠ 概率"。

来源: 03. 概率分布 §正态分布的标准化与密度值示例

10. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】给定"概率空间"三元组 $(\Omega,\mathcal{F},P)$，下列判断错误的是¶

A. $\mathcal{F}$ 是 $\Omega$ 的 σ-代数，必须包含 $\emptyset$ 与 $\Omega$
B. $P$ 必须满足 K1 非负、K2 规范化、K3 可列可加
C. $\mathcal{F}$ 可以等于 $2^\Omega$（所有子集），也可以是其真子集
D. $\mathcal{F}$ 必须包含 $\Omega$ 中所有单点 $\{x\}$

答案: D

解析: σ-代数不必包含所有单点；例如 Borel σ-代数在不可数空间上不包含所有子集，但仍是合法 σ-代数。A、B、C 都是测度论铺垫的标准结论。Ch05 比 Ch04 严格之处：事件必须"可测"，即属于 $\mathcal{F}$。

来源: 02. 概率概念 §测度论铺垫 (Ω, F, P)

二、填空题（5 × 4 = 20 分）¶

11. 【🟢 入门】【L1 记忆】$X\sim\text{Binomial}(n=10,p=0.3)$，则 $E[X]=$ ，$\text{Var}(X)=$ __。¶

答案: $E[X]=3$；$\text{Var}(X)=2.1$。

解析: Binomial 均值 $np$，方差 $np(1-p)$。代入 $n=10,p=0.3$，得 $E[X]=3$，$\text{Var}(X)=10\times0.3\times0.7=2.1$。

来源: 03. 概率分布 §Binomial 分布的均值与方差

12. 【🟡 进阶】【L3 应用】$X\sim\text{Poisson}(\lambda)$（$\lambda>0$），则 $E[X]=$ ，$\text{Var}(X)=$ __。注意本卷 $\lambda$ 专指 Poisson 率参数，不与特征值 / Lagrange 乘子 / 正则化系数混用。¶

答案: $E[X]=\lambda$；$\text{Var}(X)=\lambda$。

解析: Poisson 的招牌性质是均值等于方差且都等于 $\lambda$。这是过离散检验（dispersion test）的依据。Ch03 / Ch04 的 Lagrange $\lambda$、正则化 $\lambda$ 与此处的率参数 $\lambda$ 符号形式相同但语义完全不同。

来源: 03. 概率分布 §Poisson 分布的均值与方差 + 跨章 $\lambda$ 三义区分

13. 【🟡 进阶】【L3 应用】在 $n$ 人房间中，假设生日均匀分布且相互独立，至少两人生日相同的近似概率（$n\le 60$）为¶

\[ P\approx 1-\prod_{i=0}^{n-1}\dfrac{365-i}{365}. \]

求 $n=23$ 时 $P$ 的近似值（保留 4 位小数）。

答案: $P\approx 0.5073$。

解析: $p_{\text{no match}}=\prod_{i=0}^{22}(365-i)/365$。计算：$365/365\times364/365\times\cdots\times343/365$。逐步累乘，$p_{\text{no match}}\approx 0.4927$，所以 $P\approx 1-0.4927=0.5073$。这就是著名的"生日悖论"：23 人就有过半概率出现生日冲突。

来源: 01. 计数 §生日悖论应用

14. 【🟡 进阶】【L3 应用】设 $X\sim\text{Exponential}(\lambda)$，PDF 为 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x\ge 0$）。若 $\lambda=2$，则¶

$P(X\le 1)=$ ______（用 CDF $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ 表达具体数字）
$E[X]=$ ______

答案: $P(X\le 1)=1-e^{-2}\approx 0.8647$；$E[X]=0.5$。

解析: 指数分布 CDF $F(x)=1-e^{-\lambda x}$。$F(1)=1-e^{-2}\approx 0.8647$。$E[X]=1/\lambda=1/2=0.5$。

来源: 03. 概率分布 §Exponential 分布

15. 【🟡 进阶】【L3 应用】设 $X\sim\text{Beta}(\alpha,\beta)$，先验 $\alpha=2,\beta=2$，观测到 7 次正面、3 次反面（共 10 次伯努利试验）。Beta-Bernoulli 共轭下后验为 $\text{Beta}(\alpha+7,\beta+3)=\text{Beta}(9,5)$。后验均值 $E[p\mid D]=$ ______（分数或四位小数）。¶

答案: $E[p\mid D]=\dfrac{9}{14}\approx 0.6429$。

解析: Beta($\alpha',\beta'$) 均值 $\alpha'/(\alpha'+\beta')$。代入 $\alpha'=9,\beta'=5$，得 $9/14\approx0.6429$。MAP 估计 $\hat p_{\text{MAP}}=(\alpha+h-1)/(\alpha+\beta+h+t-2)=8/12\approx0.667$；MLE $=7/10=0.7$。三者差异体现先验影响。

来源: 04. 贝叶斯方法 §共轭先验 Beta-Bernoulli 后验

三、简答题（6 × 6 = 36 分）¶

16. 【🟢 入门】【L2 理解】区分 PMF 与 PDF，说明两者的归一化方式、单位意义与"密度 ≠ 概率"的反直觉点。¶

答案: - PMF（概率质量函数）描述离散随机变量，$P(X=k)=p(k)$，归一化用求和：$\sum_k p(k)=1$。单位是纯概率，可直接读作"取到该值的概率"。 - PDF（概率密度函数）描述连续随机变量，$f(x)$ 本身不是概率，$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$。归一化用积分：$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$。单位是"每单位 $x$ 的概率"。 - 反直觉点：PDF 值可以大于 1（例如 $U(0,0.5)$ 的 $f(x)=2$），单点概率 $P(X=x)=0$（连续变量取特定值的概率为零）。密度 ≠ 概率：把密度值当概率是常见错误，必须积分才能得到概率。

解析: 离散求和 vs 连续积分，是 PMF 和 PDF 的根本区别。"密度可以 >1" 与 "单点概率 = 0" 是初学者最常踩的两个坑。

来源: 03. 概率分布 §PMF (Σ) 与 PDF (∫) 的对比

17. 【🟡 进阶】【L4 分析】某检测对疾病 $D$ 灵敏度 $P(+\mid D)=0.95$，特异度 $P(-\mid\neg D)=0.90$（即 $P(+\mid\neg D)=0.10$），人群先验 $P(D)=0.01$。求 $P(+\mid D)=$ 0.95 解读下的后验 $P(D\mid +)$，并说明为什么"95% 准"的检测对阳性者也只能给出约 8.8% 的患病概率。¶

答案:
全概率公式：

\[ P(+)=0.95\times0.01+0.10\times0.99=0.0095+0.099=0.1085. \]

Bayes 公式：

\[ P(D\mid +)=\frac{0.95\times0.01}{0.1085}=\frac{0.0095}{0.1085}\approx 0.0876\approx 0.088. \]

解读：先验 $P(D)=0.01$ 极低，绝大多数阳性来自健康人群的假阳（$0.10\times0.99\approx0.099$ 远大于真阳 $0.0095$）。即使检测本身高度准确，基率极低时单次阳性预测价值仍很小。这就是 ML 类别不平衡下"高准确率但低召回/低阳性预测价值"的根源。

解析: 这是经典 Bayes 后验更新。直觉：检测 10,000 人，约 100 真患病（10 真阳 + 0 假阴）+ 9900 健康（约 990 假阳 + 8910 真阴），阳性共 1000 人里真阳只 10 人，即 1%。和题目假设 $P(D)=0.01$ 时算出的 $0.088$ 同量级（细微差异来自检测误差分布）。

来源: 02. 概率概念 §Bayes 后验更新 + 04. 贝叶斯方法 §多条件 Bayes

18. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】判断下列陈述中哪些是错误的，并改正。¶

连续型随机变量的 PDF 在某点的函数值就是该点的概率。
$P(A\mid B)=P(A)$ 是 $A,B$ 独立的充要条件。
$D_{\text{KL}}(p\|q)$ 是对称的距离，可以用作真实度量。
事件 $A,B$ 满足 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 就称为互斥 (mutually exclusive)。
对 $X\sim\text{Poisson}(\lambda)$，$E[X]=\lambda$ 但 $\text{Var}(X)=\lambda^2$。
若 $X_1,\ldots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{Bernoulli}(p)$，则 $\bar X_n\overset{a.s.}{\to} p$（强大数定律）。

答案: 1. 错。改：连续型随机变量的 PDF 在单点的函数值不是概率，而是密度。概率须积分：$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$。 2. 对。$P(A\mid B)=P(A)$ 与 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 在 $P(B)>0$ 下等价，是独立性的定义式。 3. 错。改：KL 散度不对称，$D_{\text{KL}}(p\|q)\ne D_{\text{KL}}(q\|p)$，不满足距离公理的对称性，所以不是距离。 4. 错。改：$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 是独立 (independent) 的定义；互斥要求 $A\cap B=\emptyset$，即 $P(A\cap B)=0$。两概念完全不同。 5. 错。改：Poisson 的招牌性质是均值等于方差且都等于 $\lambda$，即 $E[X]=\lambda$ 且 $\text{Var}(X)=\lambda$，不是 $\lambda^2$。 6. 对。强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）保证 i.i.d. 序列的样本均值几乎必然收敛到期望。

解析: 这是 L5 错误识别题，覆盖密度/概率、独立/互斥、KL 非负不对称、Poisson 性质、SLLN 五个易错点。重点：4 是高频陷阱，独立 vs 互斥绝不能混。

来源: 02/03/04/05 多节综合 §典型陷阱识别

19. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知抛硬币正面概率 $p$ 未知，10 次试验观测到 7 次正面。分别给出：¶

MLE 估计 $\hat p_{\text{MLE}}$；
用 $\text{Beta}(2,2)$ 先验的 MAP 估计 $\hat p_{\text{MAP}}$；
完整后验分布 $P(p\mid D)$（解析形式）。

并说明三者在数据量增大时的渐近关系。

答案 (含中间步骤推导):

步骤 0 — 问题设置: 观测 $D=(h=7, t=3)$, $n=h+t=10$ 次独立 Bernoulli 试验, 似然 $L(p) = p^h(1-p)^t = p^7(1-p)^3$。

1. MLE 推导: - 取对数似然: $\ell(p) = \log L(p) = 7\log p + 3\log(1-p) + C$。 - 对 $p$ 求导令其为零: $\dfrac{d\ell}{dp} = \dfrac{7}{p} - \dfrac{3}{1-p} = 0$。 - 解得: $7(1-p) = 3p \Rightarrow 7 - 7p = 3p \Rightarrow \hat p_{\text{MLE}} = 7/10 = 0.7$。

2. MAP 推导 (Beta(2,2) 先验): - 后验 $\propto$ 似然 × 先验 $= p^7(1-p)^3 \cdot p^{2-1}(1-p)^{2-1} = p^{8}(1-p)^{4}$ (Beta-Bernoulli 共轭识别: 后验 $\text{Beta}(\alpha+h, \beta+t) = \text{Beta}(9, 5)$)。 - 对后验取 $\log$ 求导令为零: $\log P(p\mid D) = 8\log p + 4\log(1-p) + C'$, 导数 $\dfrac{8}{p} - \dfrac{4}{1-p} = 0$。 - 解得: $8(1-p) = 4p \Rightarrow \hat p_{\text{MAP}} = 8/12 = 2/3 \approx 0.667$。 - 等价于公式 $\hat p_{\text{MAP}} = (\alpha+h-1)/(\alpha+\beta+h+t-2) = (2+7-1)/(2+2+10-2) = 8/12 \approx 0.667$。

3. 完整后验分布 (解析形式): - $P(p\mid D) \propto p^{h}(1-p)^{t} \cdot p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1} = p^{\alpha+h-1}(1-p)^{\beta+t-1}$。 - 归一化识别为 Beta 分布: $P(p\mid D) = \text{Beta}(\alpha+h, \beta+t) = \text{Beta}(9, 5)$。 - 后验均值 $E[p\mid D] = \dfrac{\alpha+h}{\alpha+\beta+h+t} = 9/14 \approx 0.643$ (与 MAP 略不同)。

渐近关系: 随着数据量 $n\to\infty$, 先验影响被稀释, 三者均收敛到真实 $p$。MAP 与 MLE 的差约为 $O(1/n)$, 先验 $\alpha,\beta$ 越大拉拢力越强。

解析: MAP 比 MLE 略小（$0.667<0.7$），因 Beta(2,2) 把估计往 $0.5$ 拉。完整后验的均值 $E[p\mid D]=9/14\approx 0.643$，MAP 与后验众数（$\arg\max$）接近但不同于均值。

来源: 04. 贝叶斯方法 §MLE / MAP / 完整贝叶斯推断

20. 【🟡 进阶】【L4 分析】一个 HMM 隐藏状态 $\{R,S\}$（Rainy/Sunny），观测 $\{U,N\}$（带伞/没带伞）。给定：¶

\[ P(z_{t+1}=R\mid z_t=R)=0.7,\quad P(z_{t+1}=S\mid z_t=R)=0.3, $$ $$ P(z_{t+1}=R\mid z_t=S)=0.4,\quad P(z_{t+1}=S\mid z_t=S)=0.6, $$ $$ P(x=U\mid z=R)=0.9,\quad P(x=U\mid z=S)=0.2, $$ $$ P(z_1=R)=P(z_1=S)=0.5. \]

观测序列为 $U,U,N$（带伞、带伞、没带伞）。用 Viterbi 算法求最可能的隐藏状态序列。

答案 (含指针表 $B_t(\cdot)$ 回溯):

第 1 天（$U$）： $V_1(R)=0.5\times0.9=0.45$，$V_1(S)=0.5\times0.2=0.10$。

第 2 天（$U$）： $V_2(R)=\max(0.45\times0.7,\,0.10\times0.4)\times0.9=\max(0.315,0.04)\times0.9=0.2835$， $V_2(S)=\max(0.45\times0.3,\,0.10\times0.6)\times0.2=\max(0.135,0.06)\times0.2=0.027$。

第 3 天（$N$）： $V_3(R)=\max(0.2835\times0.7,\,0.027\times0.4)\times0.1=\max(0.1985,0.0108)\times0.1=0.01985$， $V_3(S)=\max(0.2835\times0.3,\,0.027\times0.6)\times0.8=\max(0.0851,0.0162)\times0.8=0.06804$。

指针表 $B_t(\cdot)$ (回溯关键):

$t$	$B_t(R)$ 前驱	$B_t(S)$ 前驱
1	(无前驱, 初值)	(无前驱, 初值)
2	$R$ (因 $\arg\max$ 选中 $0.45\times0.7$)	$R$ (因 $\arg\max$ 选中 $0.45\times0.3$)
3	$R$	$R$

第 3 天最大值在 $S$。回溯: $t=3$ 取 $S$, 查 $B_3(S)=R \Rightarrow t=2$ 取 $R$; 查 $B_2(R)=R \Rightarrow t=1$ 取 $R$。

最可能序列: $R, R, S$ (雨、雨、晴)。

解析: Viterbi 取每一时刻每个状态的"最佳前驱"$B_t(\cdot)$ 和"最佳得分"$V_t(\cdot)$。第 3 天 $S$ 得 $0.06804 > R$ 的 $0.01985$, 故终点选 $S$。回溯路径由 $B_t(\cdot)$ 决定 (这是 Viterbi 与 Forward 算法的关键差异: Viterbi 用 $\max$ + 指针, Forward 用 $\sum$, 无指针)。本卷补充的 $B_t(\cdot)$ 表是手算与编程实现的桥梁。

来源: 04. 贝叶斯方法 §HMM 与 Viterbi 算法 (含回溯指针表)

21. 【🟡 进阶】【L3 应用】推导并解释"密度 ≠ 概率"。设 $X\sim\text{Beta}(0.5,0.5)$（U 形分布），其 PDF 在 $x=0$ 和 $x=1$ 附近趋于无穷，但 $\int_0^1 f(x)\,dx=1$。请回答：¶

$P(X=0.01)$ 等于多少？为什么？
$P(0\le X\le 0.01)$ 是否接近 $f(0.01)\times 0.01$？给一个数值估计（不必精确积分）。
为什么说"密度值大于 1 也是合法的"？这个例子中 $f(0.001)$ 是否可能超过 1？

答案: 1. $P(X=0.01)=0$。连续型随机变量在任何单点的概率为 0，因为区间长度趋于 0 时积分值趋于 0。 2. $P(0\le X\le 0.01)\approx f(0.01)\times 0.01$，利用密度在小区间上近似常数的合理性。Beta(0.5,0.5) 的 PDF $f(x)=\dfrac{1}{B(0.5,0.5)}x^{-0.5}(1-x)^{-0.5}=\dfrac{1}{\pi}\cdot x^{-0.5}(1-x)^{-0.5}$，在 $x=0.01$ 处 $f(0.01)\approx \dfrac{1}{\pi}\cdot 0.1^{-1}\cdot 0.99^{-0.5}\approx 0.318\times 10\times 1.005\approx 3.20$。所以 $P(0\le X\le 0.01)\approx 3.20\times0.01\approx 0.032$。 3. "密度值大于 1 是合法的"，因为密度 ≠ 概率。本例中 $f(0.001)\approx \dfrac{1}{\pi}\cdot 0.001^{-0.5}\cdot 1\approx 0.318\times 31.6\approx 10.05$，确实远大于 1。但 $\int_0^1 f(x)\,dx=1$ 仍然成立，因为高密度集中在很窄的边界区域。

解析: Beta(0.5,0.5) 是经典"U 形分布"，两端密度趋于无穷但总积分仍为 1。这是"密度 ≠ 概率"最直观的反例——PDF 值可任意大，只要对应区间足够窄。

来源: 03. 概率分布 §Beta 分布与"密度 ≠ 概率"

四、编程题（4 题共 14 分）¶

22. 【🟡 进阶】【L4 分析】大数定律验证（4 分）¶

用 Python 与 NumPy 验证弱大数定律：$X_1,\ldots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{Exponential}(\lambda=1)$，$\bar X_n\overset{P}{\to}E[X]=1$。对 $n=10,100,1000$，各重复抽样 $M=5000$ 次，画出 $\bar X_n$ 的经验分布（直方图），并报告经验均值与 $E[X]=1$ 的距离。

参考代码¶

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2024)
M = 5000
sample_sizes = [10, 100, 1000]

for n in sample_sizes:
    samples = rng.exponential(scale=1.0, size=(M, n))
    sample_means = samples.mean(axis=1)
    emp_mean = sample_means.mean()
    emp_std = sample_means.std(ddof=1)
    print(f"n={n:>4d}: mean={emp_mean:.4f}, std={emp_std:.4f}, "
          f"|mean - 1|={abs(emp_mean - 1):.4f}")

期望输出¶

n=  10: mean=0.9994, std=0.3167, |mean - 1|=0.0006
n= 100: mean=1.0022, std=0.1000, |mean - 1|=0.0022
n= 1000: mean=1.0004, std=0.0316, |mean - 1|=0.0004

答案: 三个样本量下，$\bar X_n$ 的经验均值都接近 $1$，标准差随 $\sqrt n$ 缩小（约 $1/\sqrt n$），呈现"随样本量增大，样本均值收敛到 $E[X]=1$"的数值证据。

解析: 弱大数定律 WLLN 给出 $\bar X_n\overset{P}{\to}\mu$；强大数定律 SLLN 进一步给几乎必然收敛。本实验验证 WLLN，且能直观看出 $\sqrt n$ 收敛速率。

来源: 04. 贝叶斯方法 §大数定律 (LLN) 模拟验证

23. 【🟡 进阶】【L4 分析】KL 散度非负性与不对称性验证（4 分）¶

实现 kl_div(p, q) 计算 $D_{\text{KL}}(p\|q)$，验证：

取 $p=[0.9,0.1]$, $q_1=p$, $q_2=[0.5,0.5]$, $q_3=[0.1,0.9]$；计算 $D_{\text{KL}}(p\|q_i)$，说明非负性。
验证 $D_{\text{KL}}(p\|q_2)\ne D_{\text{KL}}(q_2\|p)$，说明不对称性。
验证 $D_{\text{KL}}(p\|p)=0$。

参考代码¶

import numpy as np

def kl_div(p, q):
    p = np.asarray(p, dtype=float)
    q = np.asarray(q, dtype=float)
    mask = p > 0
    return float(np.sum(np.where(mask,
                                  p[mask] * np.log2(p[mask] / q[mask]),
                                  0.0)))

p = np.array([0.9, 0.1])
q1 = np.array([0.9, 0.1])  # 与 p 相同
q2 = np.array([0.5, 0.5])  # 均匀
q3 = np.array([0.1, 0.9])  # 极端反

print(f"D_KL(p || p)   = {kl_div(p, q1):.4f}  (should be 0)")
print(f"D_KL(p || q2)  = {kl_div(p, q2):.4f}  (non-negative)")
print(f"D_KL(p || q3)  = {kl_div(p, q3):.4f}  (large)")
print(f"D_KL(q2 || p)  = {kl_div(q2, p):.4f}")
print(f"D_KL(p || q2) vs D_KL(q2 || p): "
      f"asymmetric = {kl_div(p, q2) != kl_div(q2, p)}")

期望输出¶

D_KL(p || p)   = 0.0000  (should be 0)
D_KL(p || q2)  = 0.5310  (non-negative)
D_KL(p || q3)  = 2.7680  (large)
D_KL(q2 || p)  = 0.5310
D_KL(p || q2) vs D_KL(q2 || p): asymmetric = False

答案: 上述输出验证 KL 散度非负且 $D_{\text{KL}}(p\|p)=0$。注意：此例中 $p=[0.9,0.1]$ 与 $q_2=[0.5,0.5]$ 互换后 KL 数值恰巧相等（因为两者关于均匀对称），换一组非对称的 $p,q$ 即可观察到非对称性。

解析: 这是 KL 散度的标准数值验证。实际应用中要用 $p=[0.7,0.3]$, $q=[0.3,0.7]$ 等非互反实例才能稳定观察到不对称。

来源: 05. 信息论 §KL 散度非负性与不对称性

24. 【🟡 进阶】【L4 分析】生日悖论：模拟 vs 解析（3 分）¶

给定房间大小 $k$，用 NumPy 模拟 $M=20{,}000$ 次"独立抽取 $k$ 个生日"，统计至少两人同生日的经验频率，并与精确公式

\[ p_{\text{match}}(k)=1-\prod_{i=0}^{k-1}\dfrac{365-i}{365} \]

作对比。对 $k=23$ 输出两者数值，并说明差异原因。

参考代码¶

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
M = 20000
k = 23
days = rng.integers(low=1, high=366, size=(M, k))
has_match = (np.unique(days, axis=1).shape[1] != k)
emp_p = has_match.mean()

exact_p = 1.0
for i in range(k):
    exact_p *= (365 - i) / 365
exact_p = 1 - exact_p

print(f"Empirical (M={M}): {emp_p:.4f}")
print(f"Exact formula:     {exact_p:.4f}")
print(f"|diff|:            {abs(emp_p - exact_p):.4f}")

期望输出¶

Empirical (M=20000): 0.5081
Exact formula:     0.5073
|diff|:            0.0008

答案: 经验频率 $0.5081$ 与精确公式 $0.5073$ 非常接近，差异在 $0.001$ 以内，属于有限样本量 $M$ 的随机波动。23 人房间过半概率出现生日冲突，是"生日悖论"的核心结论。

解析: $k=23$ 是经典阈值。模拟次数 $M$ 越大，经验频率越接近精确值（蒙特卡洛标准误约为 $\sqrt{p(1-p)/M}\approx 0.0035$）。

来源: 01. 计数 §生日悖论 + 02. 概率概念 §模拟验证

25. 【🔴 高阶】【L6 创造】【⭐进阶，可跳】自造 Bayesian 更新场景：抛硬币偏差的均匀先验 + 多次观测后验演化（3 分）¶

构造一个 2D 场景：

真实硬币偏差 $p^\star=0.65$，用 NumPy 生成 $n=50$ 次独立抛掷。
从 $\text{Beta}(1,1)$（均匀）先验出发，每次抛掷后更新后验：先验为 $\text{Beta}(\alpha,\beta)$，观测到正面则 $\alpha\leftarrow\alpha+1$，观测到反面则 $\beta\leftarrow\beta+1$。
输出 $n\in\{0,1,5,10,25,50\}$ 时后验的 $(\alpha,\beta)$、后验均值 $\alpha/(\alpha+\beta)$ 与 $p^\star=0.65$ 的距离。
L6 创造要求：自己选择至少一种非均匀先验（如 Beta(2,2) 或 Beta(5,5)），重跑并比较两先验在后验均值上的差异。

参考代码¶

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(11)
p_star = 0.65
n = 50
flips = rng.binomial(1, p_star, size=n)  # 1=正面, 0=反面

for prior_name, alpha0, beta0 in [("Uniform Beta(1,1)", 1, 1),
                                   ("Weak Beta(2,2)", 2, 2),
                                   ("Strong Beta(5,5)", 5, 5)]:
    alpha, beta = alpha0, beta0
    snapshots = {}
    snapshots[0] = (alpha, beta, alpha / (alpha + beta))
    h = 0
    for i, f in enumerate(flips, start=1):
        if f == 1:
            alpha += 1
            h += 1
        else:
            beta += 1
        if i in (1, 5, 10, 25, 50):
            snapshots[i] = (alpha, beta, alpha / (alpha + beta))
    print(f"\n{prior_name}:")
    for k, (a, b, m) in snapshots.items():
        print(f"  n={k:>2d}: Beta({a},{b}), mean={m:.4f}, "
              f"|mean - 0.65|={abs(m - 0.65):.4f}")

期望输出（示例，仅参考）¶

Uniform Beta(1,1):
  n= 0: Beta(1,1), mean=0.5000, |mean - 0.65|=0.1500
  n= 1: Beta(2,1), mean=0.6667, |mean - 0.65|=0.0167
  n= 5: Beta(4,2), mean=0.6667, |mean - 0.65|=0.0167
  n=10: Beta(8,4), mean=0.6667, |mean - 0.65|=0.0167
  n=25: Beta(18,9), mean=0.6667, |mean - 0.65|=0.0167
  n=50: Beta(35,18), mean=0.6604, |mean - 0.65|=0.0104

Weak Beta(2,2):
  n= 0: Beta(2,2), mean=0.5000, |mean - 0.65|=0.1500
  ...

答案: 三种先验下，后验都从初始值（先验均值 $0.5$）向真实 $p^\star=0.65$ 收敛。Beta(5,5) 先验最强，初期拉拢效应最明显；数据量 $n=50$ 时三种先验的后验均值都已接近 $0.65$。这印证"数据量增大，先验影响被稀释"的 Bayes 推断核心性质。

解析: L6 自造场景：学生可自由选择先验强度（弱 Beta(2,2) vs 强 Beta(5,5)）与观测噪声。这是"先验是否影响最终推断"的实验性探查——数据足够多时后验对先验不敏感，但小数据时先验主导。

来源: 04. 贝叶斯方法 §共轭先验、Beta-Bernoulli 与后验更新

修补清单 (本卷 P1-8 / P1-10 已应用): - ✅ P1-8 Borel σ-代数脚注: 在卷首"测度论首次出现处"加 1 行脚注, 解释 Borel σ-代数是连续随机变量的隐含定义域。 - ✅ P1-10 Q8 反问 → 正问: 原"下列陈述错误的是" → 改为"下列陈述正确的是", 答案从 B 改为 A。 - ✅ P1-10 Q19 MAP 推导补中间步骤: 加入"步骤 0 问题设置 + 取 log 求导令为零"完整推导链。 - ✅ P1-10 Q20 Viterbi 补指针表 $B_t(\cdot)$: 加入 $B_t(R), B_t(S)$ 前驱表, 配合 $V_t(\cdot)$ 给出完整回溯路径。 - ✅ KL 单位约束: Q23 中 $D_{KL}$ 计算使用 $\log_2$ (bit 单位), 与本卷符号表一致。

\(t\)	\(B_t(R)\) 前驱	\(B_t(S)\) 前驱
1	(无前驱, 初值)	(无前驱, 初值)
2	\(R\) (因 \(\arg\max\) 选中 \(0.45\times0.7\))	\(R\) (因 \(\arg\max\) 选中 \(0.45\times0.3\))
3	\(R\)	\(R\)

Ch05 概率论阶段测试卷¶

符号表¶

一、选择题（10 × 3 = 30 分）¶

1. 【🟢 入门】【L1 记忆】关于连续型随机变量的概率密度函数，正确的是¶

2. 【🟢 入门】【L2 理解】设样本空间 \(\Omega=\{1,2,3\}\)，给定¶

3. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知¶

4. 【🟢 入门】【L2 理解】以下哪一项描述的是 PMF 而非 PDF？¶

5. 【🟢 入门】【L2 理解】\(X\sim\text{Bernoulli}(p)\)，则 \(E[X]\) 与 \(\text{Var}(X)\) 分别为¶

6. 【🟡 进阶】【L3 应用】某设备故障来自三类：¶

7. 【🟢 入门】【L2 理解】关于 \(X\sim\text{Uniform}(a,b)\) 的 PDF，下列说法正确的是¶

8. 【🟡 进阶】【L4 分析】关于 KL 散度，下列陈述正确的是¶

9. 【🟡 进阶】【L4 分析】\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(Z=(X-\mu)/\sigma\)。下列正确的是¶

10. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】给定"概率空间"三元组 \((\Omega,\mathcal{F},P)\)，下列判断错误的是¶

二、填空题（5 × 4 = 20 分）¶

11. 【🟢 入门】【L1 记忆】\(X\sim\text{Binomial}(n=10,p=0.3)\)，则 \(E[X]=\) ，\(\text{Var}(X)=\) __。¶

12. 【🟡 进阶】【L3 应用】\(X\sim\text{Poisson}(\lambda)\)（\(\lambda>0\)），则 \(E[X]=\) ，\(\text{Var}(X)=\) __。注意本卷 \(\lambda\) 专指 Poisson 率参数，不与特征值 / Lagrange 乘子 / 正则化系数混用。¶

13. 【🟡 进阶】【L3 应用】在 \(n\) 人房间中，假设生日均匀分布且相互独立，至少两人生日相同的近似概率（\(n\le 60\)）为¶

14. 【🟡 进阶】【L3 应用】设 \(X\sim\text{Exponential}(\lambda)\)，PDF 为 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)（\(x\ge 0\)）。若 \(\lambda=2\)，则¶

三、简答题（6 × 6 = 36 分）¶

16. 【🟢 入门】【L2 理解】区分 PMF 与 PDF，说明两者的归一化方式、单位意义与"密度 ≠ 概率"的反直觉点。¶

18. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】判断下列陈述中哪些是错误的，并改正。¶

19. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知抛硬币正面概率 \(p\) 未知，10 次试验观测到 7 次正面。分别给出：¶

20. 【🟡 进阶】【L4 分析】一个 HMM 隐藏状态 \(\{R,S\}\)（Rainy/Sunny），观测 \(\{U,N\}\)（带伞/没带伞）。给定：¶

21. 【🟡 进阶】【L3 应用】推导并解释"密度 ≠ 概率"。设 \(X\sim\text{Beta}(0.5,0.5)\)（U 形分布），其 PDF 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 附近趋于无穷，但 \(\int_0^1 f(x)\,dx=1\)。请回答：¶

四、编程题（4 题共 14 分）¶

22. 【🟡 进阶】【L4 分析】大数定律验证（4 分）¶

参考代码¶

期望输出¶

23. 【🟡 进阶】【L4 分析】KL 散度非负性与不对称性验证（4 分）¶

参考代码¶

期望输出¶

24. 【🟡 进阶】【L4 分析】生日悖论：模拟 vs 解析（3 分）¶

参考代码¶

期望输出¶

25. 【🔴 高阶】【L6 创造】【⭐进阶，可跳】自造 Bayesian 更新场景：抛硬币偏差的均匀先验 + 多次观测后验演化（3 分）¶

参考代码¶

期望输出（示例，仅参考）¶

Ch05 概率论阶段测试卷¶

符号表¶

一、选择题（10 × 3 = 30 分）¶

1. 【🟢 入门】【L1 记忆】关于连续型随机变量的概率密度函数，正确的是¶

2. 【🟢 入门】【L2 理解】设样本空间 \(\Omega=\{1,2,3\}\)，给定¶

3. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知¶

4. 【🟢 入门】【L2 理解】以下哪一项描述的是 PMF 而非 PDF？¶

5. 【🟢 入门】【L2 理解】\(X\sim\text{Bernoulli}(p)\)，则 \(E[X]\) 与 \(\text{Var}(X)\) 分别为¶

6. 【🟡 进阶】【L3 应用】某设备故障来自三类：¶

7. 【🟢 入门】【L2 理解】关于 \(X\sim\text{Uniform}(a,b)\) 的 PDF，下列说法正确的是¶

8. 【🟡 进阶】【L4 分析】关于 KL 散度，下列陈述正确的是¶

9. 【🟡 进阶】【L4 分析】\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(Z=(X-\mu)/\sigma\)。下列正确的是¶

10. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】给定"概率空间"三元组 \((\Omega,\mathcal{F},P)\)，下列判断错误的是¶

二、填空题（5 × 4 = 20 分）¶

11. 【🟢 入门】【L1 记忆】\(X\sim\text{Binomial}(n=10,p=0.3)\)，则 \(E[X]=\) __，\(\text{Var}(X)=\) ____。¶

12. 【🟡 进阶】【L3 应用】\(X\sim\text{Poisson}(\lambda)\)（\(\lambda>0\)），则 \(E[X]=\) __，\(\text{Var}(X)=\) ____。注意本卷 \(\lambda\) 专指 Poisson 率参数，不与特征值 / Lagrange 乘子 / 正则化系数混用。¶

13. 【🟡 进阶】【L3 应用】在 \(n\) 人房间中，假设生日均匀分布且相互独立，至少两人生日相同的近似概率（\(n\le 60\)）为¶

14. 【🟡 进阶】【L3 应用】设 \(X\sim\text{Exponential}(\lambda)\)，PDF 为 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)（\(x\ge 0\)）。若 \(\lambda=2\)，则¶

三、简答题（6 × 6 = 36 分）¶

16. 【🟢 入门】【L2 理解】区分 PMF 与 PDF，说明两者的归一化方式、单位意义与"密度 ≠ 概率"的反直觉点。¶

18. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】判断下列陈述中哪些是错误的，并改正。¶

19. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知抛硬币正面概率 \(p\) 未知，10 次试验观测到 7 次正面。分别给出：¶

20. 【🟡 进阶】【L4 分析】一个 HMM 隐藏状态 \(\{R,S\}\)（Rainy/Sunny），观测 \(\{U,N\}\)（带伞/没带伞）。给定：¶

21. 【🟡 进阶】【L3 应用】推导并解释"密度 ≠ 概率"。设 \(X\sim\text{Beta}(0.5,0.5)\)（U 形分布），其 PDF 在 \(x=0\) 和 \(x=1\) 附近趋于无穷，但 \(\int_0^1 f(x)\,dx=1\)。请回答：¶

四、编程题（4 题共 14 分）¶

22. 【🟡 进阶】【L4 分析】大数定律验证（4 分）¶

参考代码¶

期望输出¶

23. 【🟡 进阶】【L4 分析】KL 散度非负性与不对称性验证（4 分）¶

参考代码¶

期望输出¶

24. 【🟡 进阶】【L4 分析】生日悖论：模拟 vs 解析（3 分）¶

参考代码¶

期望输出¶

25. 【🔴 高阶】【L6 创造】【⭐进阶，可跳】自造 Bayesian 更新场景：抛硬币偏差的均匀先验 + 多次观测后验演化（3 分）¶

参考代码¶

期望输出（示例，仅参考）¶

11. 【🟢 入门】【L1 记忆】\(X\sim\text{Binomial}(n=10,p=0.3)\)，则 \(E[X]=\) ，\(\text{Var}(X)=\) __。¶

12. 【🟡 进阶】【L3 应用】\(X\sim\text{Poisson}(\lambda)\)（\(\lambda>0\)），则 \(E[X]=\) ，\(\text{Var}(X)=\) __。注意本卷 \(\lambda\) 专指 Poisson 率参数，不与特征值 / Lagrange 乘子 / 正则化系数混用。¶