Ch04 统计学阶段测试卷¶
总分：100 分
题量：22 题
题型：选择题 10 题（30 分）｜填空题 5 题（20 分）｜简答题 5 题（30 分）｜编程题 2 题（20 分）
符号表¶
- \(X\) — 随机变量：把随机试验结果映射为实数。例如掷骰子时，\(X\in\{1,2,3,4,5,6\}\)。
- \(P(A)\) — 事件 \(A\) 的概率：事件发生可能性的数值。例如 \(P(\text{掷出偶数})=3/6=0.5\)。
- \(p(x)\) — 概率质量函数 PMF：离散随机变量取值为 \(x\) 的概率。例如公平骰子 \(p(6)=1/6\)。
- \(f(x)\) — 概率密度函数 PDF：连续随机变量的密度，区间概率由积分给出。例如 \(X\sim U(0,1)\) 时，\(f(0.5)=1\)，但 \(P(X=0.5)=0\)。
- \(E[X]\) — 期望：随机变量的概率加权平均。例如公平骰子 \(E[X]=3.5\)。
- \(\mu\) — 总体均值：总体分布的平均位置。例如总体均值可为 \(\mu=50\)。
- \(\sigma^2\) — 总体方差：总体观测值围绕 \(\mu\) 的平均平方偏离。例如 \(\sigma=12\) 时，\(\sigma^2=144\)。
- \(\bar X\) — 样本均值：样本观测值的平均数。例如样本 \((2,4,6)\) 的 \(\bar X=4\)。
- \(n\) — 样本量：样本中观测值的个数。例如 \(n=30\) 表示每个样本含 30 个观测值。
- \(s^2\) — 样本方差：使用 \(n-1\) 作分母的方差估计。例如样本 \((1,3,5,7)\) 的 \(s^2=20/3\)。
- \(SE\) — 标准误：统计量抽样分布的标准差。例如 \(\sigma=12,n=36\) 时，\(SE=12/\sqrt{36}=2\)。
- \(H_0\) — 零假设：检验开始时的默认主张。例如 \(H_0:\mu=10\)。
- \(H_1\) — 备择假设：与零假设相竞争的主张。例如 \(H_1:\mu\ne10\)。
- \(\alpha\) — 显著性水平：事先规定的第一类错误控制水平。例如 \(\alpha=0.05\)。
- \(\beta\) — 第二类错误概率：\(H_0\) 为假但未拒绝它的概率。例如 \(\beta=0.20\) 时，功效为 \(1-\beta=0.80\)。
- \(p\) — p 值：在 \(H_0\) 为真时，观察到至少与当前结果一样极端结果的概率。例如双侧检验得到 \(p=0.03\)。
- \(z\) — 标准化检验统计量：例如 \(z=2\) 表示观测值距零假设中心约 2 个标准误。
- \(CI\) — 置信区间：对总体参数给出的频率学派区间。例如 \([98,102]\) 可以是均值的 95% 置信区间。
- \(PI\) — 预测区间：对单个未来观测值给出的区间。例如未来个体的 95% 预测区间通常比均值的置信区间宽。
- \(I_n(\mu)\) — 样本 Fisher 信息：关于参数 \(\mu\) 的信息量。例如 \(n=8,\sigma=2\) 时，正态模型中 \(I_n(\mu)=8/4=2\)。
- \(\nabla f\) — 梯度列向量；\(J_f\) — Jacobian 行向量。例如 \(f(x_1,x_2)=x_1+x_2\) 时，\(\nabla f=(1,1)^\top\)，\(J_f=(1,1)\)。
- \(\lambda\) — 正则化系数，本卷取 \(\lambda\ge0\)，例如 \(\lambda=0.1\)。本卷不把 \(\lambda\) 改作显著性水平 \(\alpha\) 或第二类错误概率 \(\beta\)。
一、选择题（10 × 3 = 30 分）¶
1. 【🟢 入门】【L1 记忆】关于连续型随机变量的概率密度函数，正确的是¶
A. \(P(X=x)=f(x)\)，所以密度值就是单点概率
B. 对任意单点 \(x\)，通常有 \(P(X=x)=0\)，区间概率由 \(\int_a^b f(x)\,dx\) 给出
C. PDF 的所有函数值相加必须等于 1
D. PDF 允许在某些区间取负值，只要总积分为 1
答案: B
解析: 连续型随机变量的单点概率通常为 0，区间概率等于密度在该区间上的积分。PDF 必须处处非负且全域积分为 1，不能把密度值直接当作概率。
来源: 01. 基础 §PDF 定义与区间概率
2. 【🟢 入门】【L2 理解】设样本空间 \(\Omega=\{1,2,3\}\)，给定¶
关于这一定义，正确的是
A. 合法：满足 K1 非负、K2 规范化，且由不交集合求和满足 K3 可列可加
B. 不合法：因为 \(P(\{1\})\) 不能是小数
C. 不合法：因为三个单点概率之和必须小于 1
D. 不合法：因为 K3 要求所有事件概率都相等
答案: A
解析: 三个概率均非负，满足 K1；总和 \(0.2+0.5+0.3=1\)，满足 K2。按不交集合概率求和定义，例如 \(P(\{1,3\})=0.2+0.3=0.5\)，并满足 K3 可列可加。
来源: 01. 基础 §概率公理 K1/K2/K3
3. 【🟢 入门】【L2 理解】给定离散取值 \(1,2,3\) 的函数¶
下列判断正确的是
A. 合法，因为三个数之和为 1
B. 不合法，且只违反 K1 非负性；K2 仍成立
C. 不合法，且只违反 K2 规范化；K1 仍成立
D. 不合法，且只违反 K3 可列可加性
答案: B
解析: \(q(1)+q(2)+q(3)=1\)，所以 K2 成立；各事件仍可按集合不交并集求和，K3 形式成立。\(q(1)=-0.1<0\)，唯一违反的是 K1。
来源: 01. 基础 §概率质量函数与概率公理反例
4. 【🟡 进阶】【L4 分析】已知¶
求 \(P(A\mid B)\)。
A. \(0.24\)
B. \(0.31\)
C. \(\dfrac{24}{31}\approx0.7742\)
D. \(0.8\)
答案: C
解析: \(P(B)=0.3\times0.8+0.7\times0.1=0.31\)。因此 \(P(A\mid B)=0.3\times0.8/0.31=0.24/0.31=24/31\)。
来源: 01. 基础 §条件概率与 Bayes 公式
5. 【🟢 入门】【L2 理解】若 \(\operatorname{Var}(X)=v\)，令 \(Y=3X+5\)，则¶
A. \(\operatorname{Var}(Y)=3v+5\)
B. \(\operatorname{Var}(Y)=9v\)
C. \(\operatorname{Var}(Y)=v/9\)
D. \(\operatorname{Var}(Y)=3v\)
答案: B
解析: 方差满足 \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)\)。加常数不改变方差，乘以 3 会使方差乘以 \(3^2=9\)。
来源: 02. 描述性度量 §方差的线性变换公式
6. 【🟢 入门】【L2 理解】下列哪项描述的是“样本均值的抽样分布”¶
A. 某国所有成年人的身高分布
B. 重复抽取许多组、每组 30 人，并记录每组样本均值后形成的分布
C. 某一次抽到的 30 个人的原始身高列表
D. 某个单独个体的身高概率
答案: B
解析: 总体分布描述个体观测值；抽样分布描述统计量在重复抽样中的波动。B 中的许多组样本均值才构成 \(\bar X\) 的抽样分布。
来源: 03. 抽样 §总体分布与抽样分布
7. 【🟢 入门】【L2 理解】关于 p 值，正确的是¶
A. \(P(H_0\mid\text{数据})\)
B. 在 \(H_0\) 为真时，观察到至少与当前结果一样极端结果的概率
C. 重复实验得到相同结果的概率
D. 第一类错误概率 \(\alpha\) 的另一种写法
答案: B
解析: p 值以 \(H_0\) 为真为条件，衡量当前数据及更极端数据的尾部概率。它不是 \(H_0\) 为真的后验概率，也不等同于 \(\alpha\)。
来源: 04. 假设检验 §p 值定义与解释
8. 【🟢 入门】【L2 理解】关于均值的置信区间与单个未来观测值的预测区间，正确的是¶
A. 二者都只描述总体均值
B. 置信区间用于单个未来观测，预测区间用于总体均值
C. 置信区间描述总体参数的不确定性，预测区间描述未来个体值的不确定性，后者通常更宽
D. 二者公式和解释完全相同
答案: C
解析: 均值置信区间只反映均值估计误差；预测区间还要加入未来个体自身的随机波动。因此在相同置信水平下，预测区间通常更宽。
来源: 05. 统计推断 §置信区间与预测区间
9. 【🟡 进阶】【L4 分析】A 版本转化 \(100/1000\)，B 版本转化 \(140/1000\)。检验 \(H_0:p_A=p_B\)，采用合并比例的双侧两比例 z 检验，结果约为¶
A. \(z=0.400,\ p=0.690\)
B. \(z=2.752,\ p=0.0059\)
C. \(z=2.000,\ p=0.0455\)
D. \(z=3.000,\ p=0.0027\)
答案: B
解析: \(\hat p_A=0.10,\hat p_B=0.14,\hat p=0.12\)，合并标准误约为 \(0.014533\)。因此 \(z=0.04/0.014533=2.752\)，双侧 \(p\approx0.0059\)。
来源: 04. 假设检验 §两比例 z 检验与 A/B 测试
10. 【🔴 高阶】【L4 分析】下列关于 p 值与假设检验的陈述，错误的是¶
A. 在显著性水平 \(\alpha\) 预先设定的前提下，若 \(p\le\alpha\)，通常拒绝 \(H_0\)
B. 若 \(p=0.03\)，则 \(H_0\) 为真的概率是 0.03
C. 若 \(p>\alpha\)，只能说证据不足以拒绝 \(H_0\)，不能说已经证明 \(H_0\) 为真
D. \(\alpha\) 用于控制 \(H_0\) 为真时错误拒绝 \(H_0\) 的长期概率
答案: B
解析: p 值是“假设 \(H_0\) 为真时数据有多极端”的概率，不是 \(P(H_0\mid\text{数据})\)。要得到后验概率，需要额外的先验分布与 Bayes 模型。
来源: 04. 假设检验 §p 值、\(\alpha\) 与错误解释
二、填空题（5 × 4 = 20 分）¶
11. 【🟢 入门】【L1 记忆】数据集¶
的均值为 __，若把它视为总体，其方差为 ____。
答案: 均值 \(5\)；总体方差 \(4\)。
解析: 总和为 \(40\)，所以 \(\mu=40/8=5\)。平方偏差和为 \(32\)，总体方差为 \(32/8=4\)，这里不能误用样本方差的分母 \(n-1\)。
来源: 01. 基础 §期望、中心矩与方差
12. 【🟡 进阶】【L3 应用】样本 \(\{1,3,5,7\}\) 的样本均值为 ______，样本方差¶
为 ______。
答案: \(\bar x=4\)；\(s^2=\dfrac{20}{3}\approx6.6667\)。
解析: 四个观测值的均值是 \(4\)，平方偏差和为 \(9+1+1+9=20\)。样本方差除以 \(n-1=3\)，得到 \(20/3\)。
来源: 02. 描述性度量 §样本方差与贝塞尔修正
13. 【🟡 进阶】【L3 应用】总体标准差 \(\sigma=12\)，样本量 \(n=30\)。根据中心极限定理，样本均值的标准误为 ______，并可近似写为¶
其中 \(\operatorname{Normal}(\text{均值},\text{方差})\)。
答案: \(SE=\dfrac{12}{\sqrt{30}}\approx2.1909\)；方差为 \(\dfrac{144}{30}=4.8\)。
解析: 样本均值抽样分布的方差是 \(\sigma^2/n\)，所以为 \(4.8\)。\(n=30\) 是常用近似起点，但是否足够仍取决于总体偏态程度和独立同分布条件。
来源: 03. 抽样 §标准误与中心极限定理
14. 【🟡 进阶】【L3 应用】某设备故障来源有三类：¶
报警事件 \(B\) 满足
则 \(P(B)=\underline{\hspace{2cm}}\)，\(P(D_2\mid B)=\underline{\hspace{2cm}}\)。
答案: \(P(B)=0.33\)；\(P(D_2\mid B)=\dfrac{4}{11}\approx0.3636\)。
解析: 全概率公式给出 \(P(B)=0.2\times0.8+0.3\times0.4+0.5\times0.1=0.33\)。再用 Bayes 公式，\(P(D_2\mid B)=0.3\times0.4/0.33=0.12/0.33=4/11\)。
来源: 01. 基础 §全概率公式与多条件 Bayes 公式
15. 【🟡 进阶】【L3 应用】已知 \(\bar x=170\text{ cm}\)，总体标准差 \(\sigma=8\text{ cm}\)，\(n=50\)，取 95% 置信水平的 \(z^\ast=1.96\)。则边际误差为 __，总体均值的 95% 置信区间为 ____。¶
答案: 边际误差约为 \(2.22\text{ cm}\)；置信区间约为 \([167.78,\ 172.22]\text{ cm}\)。
解析: \(ME=1.96\times8/\sqrt{50}\approx2.22\)。因此 \(CI=\bar x\pm ME=170\pm2.22\)，得到 \([167.78,172.22]\)。
来源: 05. 统计推断 §已知总体标准差时的置信区间
三、简答题（5 × 6 = 30 分）¶
16. 【🟢 入门】【L2 理解】区分总体分布、样本分布与抽样分布，并说明它们在 mini-batch SGD 中分别对应什么对象。¶
答案:
总体分布描述研究对象中单个观测值的整体规律，例如所有用户的点击次数分布。样本分布是某一次抽到的数据及其经验分布，例如一次抽取的 64 条记录。抽样分布是重复抽取许多组同样大小的样本后，某个统计量（如样本均值或批梯度估计）的分布。
在 mini-batch SGD 中，全部训练数据可看作总体；一次 mini-batch 是样本；不同 mini-batch 产生的损失或梯度估计的波动，类似统计量的抽样分布。
解析: 三者的对象不同：总体分布看个体，样本分布看一次数据集，抽样分布看统计量跨重复抽样的变化。把一次 mini-batch 的数据直方图误称为梯度的抽样分布，是常见混淆。
来源: 03. 抽样 §总体、样本、统计量与抽样分布
17. 【🔴 高阶】【L5 评价】判断并说明理由。以下陈述中哪些错误？请改正错误陈述。¶
- 若双侧检验得到 \(p=0.03\)，则 \(H_0\) 为真的概率是 0.03。
- 95% 置信区间 \([a,b]\) 表示在当前数据下，固定参数落在 \([a,b]\) 内的概率是 95%。
- 若 \(p>0.05\)，就已经证明 \(H_0\) 为真。
- \(\alpha\) 是在 \(H_0\) 为真时错误拒绝它的长期控制水平；\(\beta\) 是 \(H_0\) 为假时未能拒绝它的概率。
答案:
1、2、3 错误；4 正确。
1 应改为：\(p=0.03\) 表示假定 \(H_0\) 为真时，观察到当前或更极端结果的概率为 0.03。
2 应改为：重复抽样并按同一方法构造区间时，约 95% 的区间会覆盖固定的总体参数。
3 应改为：\(p>0.05\) 表示证据不足以拒绝 \(H_0\)，不等于证明 \(H_0\) 为真。
解析: 这三处错误都把频率学派概率对象换成了假设本身的概率。若要直接讨论 \(P(H_0\mid\text{数据})\)，需要先验和似然构成的 Bayes 推断。
来源: 04. 假设检验 §p 值、第一类错误与第二类错误；05. 统计推断 §置信区间解释
18. 【🟡 进阶】【L4 分析】某 A/B 测试中，A 版本转化率为 \(100/1000=0.10\)，B 版本转化率为 \(140/1000=0.14\)，两比例 z 检验得到双侧 \(p=0.0059\)。请写出假设并作出统计结论，同时说明统计显著不等于业务效果一定重要。¶
答案:
设 \(p_A,p_B\) 为两个版本的总体转化率，则
在 \(\alpha=0.05\) 下，\(p=0.0059<0.05\)，拒绝 \(H_0\)，认为 B 与 A 的总体转化率存在统计显著差异，样本中 B 高出 4 个百分点。
业务上还要评估 4 个百分点的实际价值、成本、实验持续时间、随机分配质量、多个指标筛选以及结果能否在新用户群中复现。
解析: p 值回答“在无差异假设下，这样的差异是否罕见”，不直接回答收益金额或因果机制。随机分配、预先设定指标和独立重复实验是 A/B 结论的重要条件。
来源: 04. 假设检验 §两比例 z 检验、A/B 测试与统计显著性
19. 【🟡 进阶】【L4 分析】某总体均值估计为 \(\bar x=100\)，已知 \(\sigma=10\)，\(n=100\)，假设总体近似正态。分别计算 95% 均值置信区间和单个未来观测值的 95% 预测区间，并说明二者为何不能混用。最后说明 Bayesian credible interval 与频率学派置信区间的解释差异。¶
答案:
均值置信区间的标准误为 \(10/\sqrt{100}=1\)，所以
单个未来观测值还包含个体随机误差，预测标准误为
因此
置信区间估计总体均值，预测区间覆盖未来个体，后者更宽。在 Bayesian 推断中，95% credible interval 通常表示给定数据与先验后，参数落入该区间的后验概率为 95%；这与频率学派置信区间的重复抽样覆盖率不是同一解释。
解析: 置信区间只承担均值估计误差，预测区间同时承担均值估计误差和未来个体噪声。把前者直接用于预测单个用户、样本或设备，会低估不确定性。
来源: 05. 统计推断 §置信区间、预测区间与 Bayesian credible interval
20. 【🔴 高阶】【L5 评价】【⭐进阶，可跳】设 \(X_1,\ldots,X_n\overset{\text{i.i.d.}}{\sim}N(\mu,\sigma^2)\)，且 \(\sigma\) 已知。请完成：¶
- 写出关于 \(\mu\) 的对数似然、得分函数和 Fisher 信息 \(I_n(\mu)\)。
- 当 \(n=8,\sigma=2\) 时，计算 \(I_n(\mu)\)。
- 令 \(\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^\top\)，写出样本均值 \(f(\mathbf{x})=\bar x\) 的梯度和 Jacobian，并标明形状。
答案:
- 忽略与 \(\mu\) 无关的常数，
对标量参数 \(\mu\)，按本书“梯度为列向量”的约定，
Fisher 信息为
- 当 \(n=8,\sigma=2\) 时，
- 令 \(\mathbf{1}=(1,\ldots,1)^\top\in\mathbb{R}^{n\times1}\)，则
梯度为列向量
Jacobian 为行向量
例如 \(n=4\) 时，\(\nabla_{\mathbf{x}}f=(1/4,1/4,1/4,1/4)^\top\)。
解析: Fisher 信息是期望负 Hessian，也可写成得分平方的期望，刻画似然曲率和参数可辨识程度。样本均值的梯度必须写成列向量，不能把 \(J_f\) 与 \(\nabla f\) 的方向混用。
来源: 05. 统计推断 §极大似然、Fisher 信息矩阵与样本均值梯度（⭐）
四、编程题（2 × 10 = 20 分）¶
21. 【🟡 进阶】【L4 分析】用 Python、NumPy 和 scipy.stats 验证中心极限定理¶
指数总体 \(X\sim\operatorname{Exponential}(\text{scale}=1)\) 满足 \(\mu=1,\sigma=1\)。请完成以下任务：
- 固定样本量 \(n=30\)，重复抽样 50,000 次。
- 计算 50,000 个样本均值。
- 比较经验均值、经验标准误、样本均值偏度与理论正态分布。
- 使用 2.5%、50%、97.5% 分位数进行数值对照，并说明是否呈现“趋近正态”的证据。
参考代码¶
import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(2024)
n = 30
reps = 50_000
# 指数总体：均值 mu=1，方差 sigma^2=1
samples = rng.exponential(
scale=1.0,
size=(reps, n),
)
# 每一行对应一次 n=30 的抽样
sample_means = samples.mean(axis=1)
emp_mean = sample_means.mean()
emp_se = sample_means.std(ddof=1)
emp_skew = stats.skew(sample_means, bias=False)
levels = np.array([0.025, 0.5, 0.975])
# 经验分位数
empirical_quantiles = np.quantile(sample_means, levels)
# CLT 理论近似：Normal(mu, sigma^2/n)
theoretical_se = 1.0 / np.sqrt(n)
normal_quantiles = stats.norm.ppf(
levels,
loc=1.0,
scale=theoretical_se,
)
print(f"empirical mean = {emp_mean:.4f}")
print(f"empirical SE = {emp_se:.4f}")
print(f"normal SE = {theoretical_se:.4f}")
print(f"sample-mean skewness = {emp_skew:.4f}")
print(
"empirical quantiles =",
np.round(empirical_quantiles, 4),
)
print(
"normal quantiles =",
np.round(normal_quantiles, 4),
)
期望输出¶
empirical mean = 1.0001
empirical SE = 0.1834
normal SE = 0.1826
sample-mean skewness = 0.3757
empirical quantiles = [0.6743 0.9886 1.3916]
normal quantiles = [0.6422 1. 1.3578]
答案: 经验均值约为 \(1\)，经验标准误 \(0.1834\) 接近理论值 \(1/\sqrt{30}=0.1826\)，经验分位数与 \(N(1,1/30)\) 的理论分位数接近；因此样本均值分布已呈现趋近正态的数值证据。
解析: 原始指数总体明显右偏，但 \(n=30\) 的样本均值偏度已降至约 \(0.376\)，远小于单个指数变量的偏度。有限样本下不会与正态分布完全相同，CLT 表示近似随样本量增大而改善。
来源: 03. 抽样 §中心极限定理的数值验证
22. 【🔴 高阶】【L6 创造】【⭐进阶，可跳】自造二维统计场景，使 PCA 第一主成分沿 \((1,1)\) 方向¶
请使用 NumPy 自造二维数据，使两个特征具有较强正相关，要求第一主成分方向接近
要求：
- 生成二维观测数据并中心化。
- 计算样本协方差矩阵。
- 通过协方差矩阵的特征分解得到第一主成分方向。
- 用
scipy.stats.pearsonr检查两维特征的线性相关。 - 输出第一主成分与 \((1,1)^\top/\sqrt2\) 的余弦相似度。
参考代码¶
import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(7)
# 自造场景：
# t 是共同变化因素，两个特征都随 t 增大而增大
t = rng.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=1000)
noise = rng.normal(loc=0.0, scale=0.2, size=(1000, 2))
X = np.column_stack((t, t)) + noise
# 中心化
X_centered = X - X.mean(axis=0)
# rowvar=False：每一列是一个特征
covariance = np.cov(
X_centered,
rowvar=False,
ddof=1,
)
# 协方差矩阵是对称矩阵，eigh 返回升序特征值
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(covariance)
# 最大特征值对应第一主成分
first_direction = eigenvectors[:, -1]
# 统一符号方向，避免特征向量整体取负
if first_direction.sum() < 0:
first_direction = -first_direction
target_direction = np.array([1.0, 1.0]) / np.sqrt(2)
cosine = float(first_direction @ target_direction)
correlation, p_value = stats.pearsonr(
X[:, 0],
X[:, 1],
)
print("covariance =")
print(np.round(covariance, 4))
print("first direction =", np.round(first_direction, 4))
print(
"cosine with (1,1)/sqrt(2) =",
f"{cosine:.4f}",
)
print(
f"Pearson r = {correlation:.4f}, "
f"p-value = {p_value:.3e}",
)
期望输出¶
covariance =
[[0.9377 0.8951]
[0.8951 0.9313]]
first direction = [0.7084 0.7058]
cosine with (1,1)/sqrt(2) = 1.0000
Pearson r = 0.9578, p-value = 0.000e+00
答案: 代码构造的两个特征都由共同变量 \(t\) 驱动，所以协方差为正，最大特征值对应的方向约为 \((0.7084,0.7058)^\top\)，接近 \((1,1)^\top/\sqrt2\)。余弦相似度约为 \(1\)，说明第一主成分方向满足要求。
解析: PCA 在此处通过样本协方差寻找方差最大的方向；正相关数据的最大方差方向接近 \((1,1)\)。这是一个可自行修改噪声大小、样本量或共同因素分布的统计建模场景，不应把高相关误读为严格因果关系。
来源: 05. 统计推断 §因子分析、协方差结构与统计降维（⭐）