Ch02 矩阵 · 阶段测试卷 (25 题 / 100 分)¶

建议用时: 90 分钟
覆盖: 02.01 矩阵与线性映射 → 02.06 秩与逆
前置回引: Ch01 §05 基变换 (P⁻¹AP)

一、选择题 (10 × 3 = 30 分)¶

1. 🟢【L1】设 $A$ 为 $3 \times 4$ 矩阵, $B$ 为 $4 \times 5$ 矩阵, 则 $AB$ 的尺寸是¶

A. $3 \times 4$
B. $4 \times 5$
C. $3 \times 5$
D. 无法相乘

答案: C
解析: 矩阵乘法要求"内维相等, 外维保留": $(m \times n)(n \times p) = m \times p$。此处 $4=4$ 匹配, 得 $3 \times 5$。若尝试 $BA$ 则 $5 \ne 3$ 无法相乘。
来源: 02.02 §矩阵乘法维度规则

2. 🟢【L2】以下反例中, 哪一组 $A, B$ 说明矩阵乘法不交换 ($AB \ne BA$)?¶

A. $$ A = I_2, B = \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} $$
B. $$ A = \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}1&0\1&1\end{pmatrix} $$
C. $$ A = 2I_2, B = \begin{pmatrix}3&5\7&9\end{pmatrix} $$
D. $$ A = 0_{2\times2}, B = \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} $$

答案: B
解析: 算 $$ AB = \begin{pmatrix}2&1\1&1\end{pmatrix} $$, $$ BA = \begin{pmatrix}1&1\1&2\end{pmatrix} $$, 不等。A/C 中 $A$ 是标量矩阵, D 中 $A$ 是零矩阵, 均与任何矩阵可交换。识别反例时, 优先测试上三角 × 下三角这类结构。
来源: 02.02 §乘法非交换性

3. 🟢【L1】$n \times n$ 单位矩阵 $I_n$ 满足¶

A. $I_n A = A$ 对所有 $n \times n$ 矩阵 $A$
B. $I_n^2 = 0$
C. $I_n$ 只有对角线为 $0$
D. $\det(I_n) = 0$

答案: A
解析: $I_n$ 是乘法幺元, 对角线为 $1$, 其余为 $0$, $\det(I_n)=1$。数字例: $$ I_2 \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} $$。
来源: 02.01 §单位矩阵

4. 🟡【L2】关于矩阵乘法结合律 $(AB)C = A(BC)$, 下列说法正确的是¶

A. 只对方阵成立
B. 只对可逆矩阵成立
C. 只要维度可乘就成立
D. 需要 $A, B, C$ 两两可交换

答案: C
解析: 结合律是矩阵乘法的代数结构性质, 不依赖交换性、可逆性、方阵性。它源于线性映射复合的结合性。数字例: $A_{2\times3} B_{3\times4} C_{4\times1}$, 两种括号顺序都得到 $2 \times 1$ 结果。易错: 把交换律 (不成立) 与结合律 (成立) 混淆。
来源: 02.02 §乘法代数性质

5. 🟡【L4】以下哪个矩阵不可逆 (反例识别)?¶

A. $$ \begin{pmatrix}2&0\0&3\end{pmatrix} $$
B. $$ \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} $$
C. $$ \begin{pmatrix}1&2\2&4\end{pmatrix} $$
D. $$ \begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix} $$

答案: C
解析: 逆存在 $\iff \det \ne 0$。C 中第二行 = 2 × 第一行, $\det = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$, 秩为 1, 不可逆。A: $\det=6$; B: $\det=-2$; D: $\det=-1$。识别不可逆: 找行/列线性相关。
来源: 02.06 §逆存在判据

6. 🟡【L2】$2 \times 2$ 矩阵 $$¶

A = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} $$ 且 $\det A = ad - bc \ne 0$, 则 $A^{-1}$ 等于

A. $$ \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix} $$
B. $$ \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}a&-c\-b&d\end{pmatrix} $$
C. $$ \begin{pmatrix}1/a&1/b\1/c&1/d\end{pmatrix} $$
D. $$ \begin{pmatrix}d&b\c&a\end{pmatrix} $$

答案: A
解析: 2×2 求逆口诀"主对调, 副变号, 除行列式"。数字验证 $$ A = \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} $$, $\det = -2$, $$ A^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1\1.5&-0.5\end{pmatrix} $$, 验算 $AA^{-1}=I$。补 Ch01 §05 遗留的 "P⁻¹ 怎么算" 断层。
来源: 02.06 §2×2 求逆公式

7. 🟢【L1】对任意可乘矩阵 $A, B$, 转置公式为¶

A. $(AB)^T = A^T B^T$
B. $(AB)^T = B^T A^T$
C. $(A+B)^T = A^T - B^T$
D. $(A^T)^T = A^{-1}$

答案: B
解析: 转置反转乘法顺序 (与逆的公式 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 同构)。数字例: $$ A=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}3\4\end{pmatrix} $$, $AB = 11$, $(AB)^T = 11$; $$ B^TA^T = \begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\2\end{pmatrix} = 11 $$。
来源: 02.03 §转置代数性质

8. 🟡【L4】设 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, 下列不是线性映射的是 (反例识别)¶

A. $T(x, y) = (2x, 3y)$
B. $T(x, y) = (x + y, x - y)$
C. $T(x, y) = (x + 1, y)$
D. $T(x, y) = (0, 0)$

答案: C
解析: 线性映射的判据是两条独立公理:
- 加性 (Additivity): $T(u+v) = T(u) + T(v)$
- 齐次 (Homogeneity): $T(cu) = cT(u)$

以及一个推论 (由齐次取 $c=0$ 立即得到): $T(0) = 0$。

C 违反推论 $T(0)=0$: $T(0,0) = (1,0) \ne 0$; 也直接违反加性: $T(u+v)$ 的第一分量只 +1 一次, $T(u)+T(v)$ +1 两次。这类"仿射映射"是最常见的反例。判反例的最快通道: 先看 $T(0)$ 是否为 0, 若不为 0, 立刻否决。
来源: 02.01 §线性映射两条公理

9. 🟡【L2】设 $A$ 在旧基下矩阵, $P$ 的列为新基向量在旧基下的坐标, 则新基下的矩阵 $\tilde A$ 为¶

A. $\tilde A = PAP^{-1}$
B. $\tilde A = P^{-1}AP$
C. $\tilde A = PA$
D. $\tilde A = A P^{-1}$

答案: B
解析: 相似变换公式 $\tilde A = P^{-1}AP$ (Ch01 §05 承接)。记忆法: 输入向量新→旧用 $P$, 旧→新用 $P^{-1}$; 完整链路 $v_{\text{新}} \xrightarrow{P} v_{\text{旧}} \xrightarrow{A} (Av)_{\text{旧}} \xrightarrow{P^{-1}} (Av)_{\text{新}}$。
来源: 02.05 §基变换与相似 (回引 Ch01 §05)

10. 🟢【L2】$3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的秩最大可能为¶

A. $3$
B. $4$
C. $7$
D. $12$

答案: A
解析: $\text{rank}(A) \le \min(m, n) = \min(3, 4) = 3$。秩 = 线性无关行数 = 线性无关列数 = 像空间维数。数字例: $$ \begin{pmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\end{pmatrix} $$ 秩为 3, 满秩。
来源: 02.06 §秩的定义

二、填空题 (7 × 2 = 14 分)¶

11. 🟢【L1】设 $I_3$ 为三阶单位矩阵, 则 $I_3^{100} = $ __, $\det(I_3) = $ ____。¶

答案: $I_3$; $1$
解析: $I_3$ 是乘法幺元, 任意正整数幂仍为自身; 对角线全 1, 行列式为对角元乘积 = 1。
来源: 02.01 §单位矩阵性质

12. 🟢【L3】设 $$¶

A = \begin{pmatrix}3&1\5&2\end{pmatrix} $$, 则 $A^{-1} = $ ______。

答案: $$ \begin{pmatrix}2&-1\-5&3\end{pmatrix} $$
解析: $\det A = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 1$, 应用公式 $$ A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-1\-5&3\end{pmatrix} $$。验算: $$ AA^{-1} = \begin{pmatrix}3\cdot2+1\cdot(-5)&3\cdot(-1)+1\cdot3\5\cdot2+2\cdot(-5)&5\cdot(-1)+2\cdot3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix} $$。Ch01 §05 遗留断层的入门兑现: 从 2×2 手算入手, 3×3 参见 Ch03 高斯消元。
来源: 02.06 §2×2 求逆公式

13. 🟢【L3】设 $$¶

P = \begin{pmatrix}4&6\2&4\end{pmatrix} $$, 按 2×2 求逆公式三步法 计算 $P^{-1}$:

Step 1 — 行列式: $\det P = $ ______
Step 2 — 伴随 (主对调 + 副变号): $\text{adj}(P) = $ ______
Step 3 — 合成: $P^{-1} = \frac{1}{\det P} \cdot \text{adj}(P) = $ ______

答案:
- Step 1: $\det P = 4 \cdot 4 - 6 \cdot 2 = 16 - 12 = 4$
- Step 2: $$ \text{adj}(P) = \begin{pmatrix}4&-6\-2&4\end{pmatrix} $$ (主对角 $a,d$ 对调; 副对角 $b,c$ 变号)
- Step 3: $$ P^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}4&-6\-2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-3/2\-1/2&1\end{pmatrix} $$

解析: 三步法是 $2 \times 2$ 手算的固定套路 (口诀"det → 对调变号 → 除 det"), 每步独立验证。验算 $$ PP^{-1} = \begin{pmatrix}4&6\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-3/2\-1/2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4-3 & -6+6 \ 2-2 & -3+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix} $$ ✓。这是相似变换 $P^{-1}AP$ 里"$P^{-1}$"部分的手算基本功。
来源: 02.06 §2×2 求逆三步法; Ch01 §05 基变换回引

14. 🟡【L3】设 $$¶

A = \begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix} $$, 则 $AB = $ __, $BA = $ ____。

答案: $$ AB = \begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix} $$; $$ BA = \begin{pmatrix}3&4\1&2\end{pmatrix} $$
解析: $B$ 是交换矩阵 (右乘交换列, 左乘交换行)。$AB \ne BA$ 是矩阵非交换的典型反例。
来源: 02.02 §乘法计算

15. 🟢【L1】对可逆矩阵 $A, B$ (同阶), 有 $(AB)^{-1} = $ ; 对可乘矩阵 $A, B$, 有 $(AB)^T = $ __。¶

答案: $B^{-1}A^{-1}$; $B^T A^T$
解析: 逆与转置都"反转顺序"。记忆法: 穿脱袜子鞋子, 先穿的后脱。数字验证 $$ A = \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix}2&0\0&2\end{pmatrix} $$, 手算两边相等。
来源: 02.03 §转置; 02.06 §逆的代数性质

16. 🟡【L3】设 $$¶

A = \begin{pmatrix}2&0\0&3\end{pmatrix} $$ (旧基下), $$ P = \begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix} $$ (新基在旧基下的坐标), 则新基下 $\tilde A = P^{-1}AP = $ ______。

答案: $$ \begin{pmatrix}2&-1\0&3\end{pmatrix} $$
解析: 先算 $$ P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\0&1\end{pmatrix} $$ ($\det=1$)。$$ AP = \begin{pmatrix}2&0\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&2\0&3\end{pmatrix} $$, $$ P^{-1}(AP) = \begin{pmatrix}1&-1\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\0&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 - 0 & 2 - 3 \ 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-1\0&3\end{pmatrix} $$。相似变换保持对角元 (特征值), 但引入非对角项 $-1$。回引 Ch01 §05。
来源: 02.05 §相似变换 (回引 Ch01 §05)

17. 🟡【L2】PyTorch 形状识别: 定义线性层 `layer = nn.Linear(in_features=784, out_features=10)`, 则¶

layer.weight.shape = ______
layer.bias.shape = ______
输入 batch x.shape = (32, 784), 输出 y = layer(x) 的 y.shape = ______

答案: (10, 784); (10,); (32, 10)
解析: PyTorch nn.Linear 内部计算 $y = x W^T + b$, 因此权重矩阵形状是 (out_features, in_features) = (10, 784) — 注意 out 在前 (与数学书 $Wx$ 的 $W \in \mathbb{R}^{10 \times 784}$ 一致)。偏置 bias 是长度为 out 的一维张量 (10,)。批量输入 (B, in) 输出 (B, out) = (32, 10)。易错点: 把 weight 写成 (784, 10) — 这是 TensorFlow/Keras Dense 的形状约定, PyTorch 相反。深度学习实现层里, 这种形状判读是每天要做的事。
来源: 02.02 §矩阵乘法 → PyTorch 落地; 02.01 §线性映射的矩阵表示

三、简答题 (6 × 6 = 36 分)¶

18. 🟡【L2】陈述线性映射的两条独立公理及由此推出的一个推论, 每条给出大白话解释 + 违反反例。¶

答案:

两条独立公理:

公理	数学表达	大白话	违反反例
加性 (Additivity)	$T(u+v) = T(u) + T(v)$	先加再变换 = 先变换再加	$T(x)=x^2$: $T(1+1)=4 \ne T(1)+T(1)=2$
齐次 (Homogeneity)	$T(cu) = cT(u)$	放大 $c$ 倍再变换 = 变换后放大 $c$ 倍	$T(x)=\\|x\\|$: $T(-1 \cdot 1)=1 \ne (-1)T(1)=-1$

一个推论 (由齐次取 $c=0$ 推出):

推论	数学表达	大白话	违反反例
保零点 (Zero-preservation)	$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$	原点必须映到原点	$T(x)=x+1$ (仿射): $T(0)=1 \ne 0$

解析: 加性与齐次是"线性"的完整独立刻画; $T(0)=0$ 不是独立公理, 而是齐次取 $c=0$ 的直接推论 —— 但作为快速筛选反例的判据非常有用 (先测 $T(0)$, 不为 0 立刻否决)。Ch02 后续所有矩阵操作都建立在这两条公理之上: 只有满足这两条, 才能写成 $T(v) = Mv$ 的矩阵形式。
来源: 02.01 §线性映射两条公理 (Ch02 首次完整落地公理三件套)

19. 🟡【L4】判断并说明理由: 若矩阵 $A, B$ 满足 $AB = 0$ (零矩阵), 是否必有 $A = 0$ 或 $B = 0$?¶

答案: 否, 判断错误。
反例: $$ A = \begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix} $$, $$ B = \begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix} $$, 则 $$ AB = \begin{pmatrix}0&0\0&0\end{pmatrix} $$, 但 $A, B$ 均非零。
解析: 矩阵环存在零因子 (zero divisors), 这是矩阵代数与实数代数最本质的差异之一。深层原因: $A$ 的列空间与 $B$ 的行空间"正交"时乘积为 0。相关警示: 由 $AB=AC$ 也不能推出 $B=C$ (除非 $A$ 可逆)。
来源: 02.02 §乘法性质与反例; 02.06 §零因子

20. 🔴【L5】给定 $$¶

A = \begin{pmatrix}4&1\2&3\end{pmatrix} $$, $$ P = \begin{pmatrix}1&1\1&-2\end{pmatrix} $$。手算 $\tilde A = P^{-1}AP$, 展示每一步。

答案: $$ \tilde A = \begin{pmatrix}5&0\0&2\end{pmatrix} $$

Step 1 — 算 $P^{-1}$: $\det P = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = -3$。 $$P^{-1} = \frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-2&-1\\-1&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{pmatrix}$$

Step 2 — 算 $AP$: $$AP = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&2\\5&-4\end{pmatrix}$$

Step 3 — 算 $P^{-1}(AP)$: $$\begin{pmatrix}2/3&1/3\\1/3&-1/3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\5&-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(10+5)/3 & (4-4)/3 \\ (5-5)/3 & (2+4)/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&0\\0&2\end{pmatrix}$$

解析: 结果是对角矩阵, 说明 $P$ 的列 $(1,1)^T, (1,-2)^T$ 是 $A$ 的特征向量, 对应特征值 5, 2 (Ch04 预告)。这正是 Ch01 §05 基变换的高潮应用: 选对新基, 矩阵变对角。
来源: 02.05 §相似变换; Ch01 §05 基变换回引

21. 🟡【L4】证明: 若 $A, B$ 均为 $n \times n$ 可逆矩阵, 则 $AB$ 可逆, 且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。¶

答案:
证明: 只需验证 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ 且 $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$。 $$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A \cdot I \cdot A^{-1} = AA^{-1} = I$$ $$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1} \cdot I \cdot B = B^{-1}B = I$$ 由逆矩阵唯一性, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。
解析: 用到结合律 (关键) 和逆的定义。顺序反转是本质: $A$ 后作用, 撤销时先撤销 $A$。类比: 先穿袜子 ($B$) 再穿鞋子 ($A$), 脱时先脱鞋 ($A^{-1}$) 再脱袜 ($B^{-1}$)。
来源: 02.06 §逆的代数性质

22. 🔴【L5】对 $$¶

A = \begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix} $$ 完成特征值 2×2 完整推导:

(1) 写出特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$, 求两个特征值 $\lambda_1, \lambda_2$;
(2) 对每个 $\lambda_i$ 解 $(A - \lambda_i I)v = 0$, 给出一个特征向量 $v_i$;
(3) 数值验证 $A v_i = \lambda_i v_i$ (两个方向都算清楚)。

答案:

Step 1 — 特征方程: $$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0$$ $$\Rightarrow \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1$$

Step 2 — 特征向量:

λ₁ = 3: 解 $(A - 3I)v = 0$, 即 $$ \begin{pmatrix}-1&1\1&-1\end{pmatrix}v = 0 $$, 得 $-x + y = 0 \Rightarrow y = x$。取 $$ v_1 = \begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix} $$。

λ₂ = 1: 解 $(A - I)v = 0$, 即 $$ \begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}v = 0 $$, 得 $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$。取 $$ v_2 = \begin{pmatrix}1\-1\end{pmatrix} $$。

Step 3 — 验证 $Av_i = \lambda_i v_i$:

\[Av_1 = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \lambda_1 v_1 \quad \checkmark\]

\[Av_2 = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \lambda_2 v_2 \quad \checkmark\]

解析:
- 健壮性检查: $\lambda_1 + \lambda_2 = 4 = \text{tr}(A) = 2+2$; $\lambda_1 \lambda_2 = 3 = \det(A) = 4 - 1$ ✓ (相似不变量)。
- $A$ 是对称矩阵, 特征向量正交: $v_1 \cdot v_2 = 1 - 1 = 0$ ✓ (Ch04 谱定理预告)。
- 令 $$ P = (v_1 \mid v_2) = \begin{pmatrix}1&1\1&-1\end{pmatrix} $$, 则 $P^{-1}AP = \text{diag}(3, 1)$ — 这就是对角化, Ch01 §05 基变换 + 本章相似变换 + Ch04 特征分解的合流点。
来源: 02.05 §相似变换 → Ch04 §特征值预告

23. 🔴【L5】设 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵, 秩为 $r$。回答:¶

(1) $r$ 的取值范围?
(2) 齐次方程 $Ax = 0$ 解空间的维数 (零空间维数) 是多少?
(3) $A$ 何时列满秩? 何时行满秩? 何时可逆 (要求 $m=n$)?

答案:
(1) $0 \le r \le \min(m, n)$。$r = 0 \iff A = 0$。
(2) 零空间维数 $= n - r$ (秩-零化度定理, Rank-Nullity)。
(3) 列满秩: $r = n$ (需 $m \ge n$), 列向量线性无关, $Ax=0$ 只有零解。行满秩: $r = m$ (需 $n \ge m$), 行向量线性无关, $Ax=b$ 对任意 $b$ 有解。可逆 (仅 $m=n$): $r = n$ (行满秩 = 列满秩)。
解析: 秩-零化度是矩阵/线性映射的守恒律 (类比能量守恒)。数字例 $$ A = \begin{pmatrix}1&2\2&4\end{pmatrix} $$: 秩 1, 零空间维数 $2-1=1$, 生成元 $(2,-1)^T$。
来源: 02.06 §秩与零空间

四、编程题 (2 × 10 = 20 分)¶

24. 🟡【L3】用 NumPy 实现相似变换验证器¶

题目: 给定
$$A = \begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}$$

编写 Python 代码, 完成:
(a) 计算 $P^{-1}$ 并打印;
(b) 计算 $\tilde A = P^{-1}AP$ 并打印;
(c) 验证 $\tilde A$ 与 $A$ 有相同迹 (trace) 与行列式 (相似不变量);
(d) 打印 $\tilde A$ 的对角元 (应为 $A$ 的特征值)。

答案:

import numpy as np

A = np.array([[4.0, 1.0],
              [2.0, 3.0]])
P = np.array([[1.0, 1.0],
              [1.0, -2.0]])

# (a) P^{-1}
P_inv = np.linalg.inv(P)
print("P^-1 =\n", P_inv)

# (b) 相似变换 P^-1 A P (Ch01 §05 基变换的兑现)
A_tilde = P_inv @ A @ P
print("\ntilde A = P^-1 A P =\n", A_tilde)

# (c) 相似不变量验证
print("\ntrace(A)      =", np.trace(A))
print("trace(tildeA) =", np.trace(A_tilde))
print("det(A)        =", np.linalg.det(A))
print("det(tildeA)   =", np.linalg.det(A_tilde))

# (d) 对角元 = 特征值
print("\ndiag(tildeA) =", np.diag(A_tilde))
print("eigvals(A)   =", np.sort(np.linalg.eigvals(A)))

期望输出 (数值可能因浮点略有偏差):

P^-1 =
 [[ 0.66666667  0.33333333]
 [ 0.33333333 -0.33333333]]

tilde A = P^-1 A P =
 [[5.  0.]
 [0.  2.]]

trace(A)      = 7.0
trace(tildeA) = 7.0
det(A)        = 10.0
det(tildeA)   = 10.0

diag(tildeA) = [5. 2.]
eigvals(A)   = [2. 5.]

解析: np.linalg.inv 用 LU 分解算逆 (Ch03 预告)。相似变换保迹保行列式 — 这是识别"两矩阵是否相似"的必要条件 (不充分)。对角元 = 特征值仅当选对特征向量作基时成立。
来源: 02.05 §相似变换; 02.06 §逆矩阵

25. 🔴【L6】自造场景: 构造并验证线性映射的两条公理¶

题目: 从零开始设计一个你自己命名的线性映射 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, 并完成:

(a) 用自然语言描述该映射的几何/物理含义 (如"丢弃 z 分量的投影"/"某物理量的观测"等), 给出场景背景;
(b) 写出矩阵表示 $M$ ($2 \times 3$);
(c) 编程随机采样 100 组 $(u, v, c)$, 数值验证加性与齐次两条公理, 并顺带确认推论 $T(0)=0$;
(d) 再构造一个非线性映射 $S: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ 作为反例, 找出一组 $(u, v)$ 数值证明它违反加性。

答案 (示例参考解, 学生方案合理即可):

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)

# ==================== (a) 场景 ====================
# 场景: "3D 气象站测风向的水平投影 + 温度加权"
# 输入 u = (风东分量, 风北分量, 温度摄氏度)
# 输出 T(u) = (水平风速东北合成, 温度带来的浮力项)
# 定义:
#   T(x, y, z) = (x + y, 0.1 * z)  <-- 线性 (每个分量都是输入的线性组合)

# (b) 矩阵表示
M = np.array([[1.0, 1.0, 0.0],
              [0.0, 0.0, 0.1]])
print("M =\n", M)

def T(u):
    return M @ u

# ==================== (c) 验证两条公理 + 推论 ====================
n_trials = 100
add_max_err, hom_max_err = 0.0, 0.0
for _ in range(n_trials):
    u = rng.normal(size=3)
    v = rng.normal(size=3)
    c = rng.normal()
    # 公理 1: 加性
    add_max_err = max(add_max_err, np.linalg.norm(T(u + v) - (T(u) + T(v))))
    # 公理 2: 齐次
    hom_max_err = max(hom_max_err, np.linalg.norm(T(c * u) - c * T(u)))

# 推论: T(0) = 0 (由齐次取 c=0 推出)
zero_err = np.linalg.norm(T(np.zeros(3)))
print(f"\n[线性 T] 100 次采样最大误差:")
print(f"  公理1 加性误差 max = {add_max_err:.2e}")
print(f"  公理2 齐次误差 max = {hom_max_err:.2e}")
print(f"  推论  T(0) 误差    = {zero_err:.2e}")

# ==================== (d) 反例: 非线性映射 S ====================
# S(x, y, z) = (x*y, z + 1)  <-- 违反加性 (x*y 是二次) 且违反推论 (z+1 让 0 映到 1)
def S(u):
    x, y, z = u
    return np.array([x * y, z + 1.0])

u = np.array([1.0, 2.0, 0.0])
v = np.array([3.0, 4.0, 0.0])
lhs = S(u + v)          # S((4,6,0)) = (24, 1)
rhs = S(u) + S(v)       # (2,1) + (12,1) = (14, 2)
print(f"\n[非线性 S] 反例 u={u}, v={v}")
print(f"  S(u+v)      = {lhs}")
print(f"  S(u) + S(v) = {rhs}")
print(f"  差 = {lhs - rhs}  <-- 非零, 违反加性")
print(f"  S(0)        = {S(np.zeros(3))}  <-- 非零向量, 违反推论 T(0)=0")

期望输出:

M =
 [[1.  1.  0. ]
 [0.  0.  0.1]]

[线性 T] 100 次采样最大误差:
  公理1 加性误差 max = 8.88e-16
  公理2 齐次误差 max = 5.55e-17
  推论  T(0) 误差    = 0.00e+00

[非线性 S] 反例 u=[1. 2. 0.], v=[3. 4. 0.]
  S(u+v)      = [24.  1.]
  S(u) + S(v) = [14.  2.]
  差 = [10. -1.]  <-- 非零, 违反加性
  S(0)        = [0. 1.]  <-- 非零向量, 违反推论 T(0)=0

解析:
- 线性 $T$ 每次误差 $\sim 10^{-16}$ (机器精度), 完美满足加性与齐次两条独立公理; 推论 $T(0)=0$ 自动成立。
- 非线性 $S$ 的加性差为 $(10, -1)$, 且 $S(0) = (0,1) \ne 0$, 双重违反 — 只需一个反例即证明非线性。
- 学生可自由改动: 只要 $T$ 是 $Mu$ 形式 (线性), $S$ 含平方/绝对值/常数偏移 (非线性), 场景可以是"股价加权/图像灰度化/传感器融合"等。
- 本题触及 Bloom L6 创造: 学生不仅验证公理, 而是主动设计一对正反例, 沉淀"什么是线性"的直觉。

来源: 02.01 §线性映射两条公理 (Ch02 公理三件套模板收官)

Ch02 矩阵 · 阶段测试卷 (25 题 / 100 分)¶

一、选择题 (10 × 3 = 30 分)¶

1. 🟢【L1】设 \(A\) 为 \(3 \times 4\) 矩阵, \(B\) 为 \(4 \times 5\) 矩阵, 则 \(AB\) 的尺寸是¶

2. 🟢【L2】以下反例中, 哪一组 \(A, B\) 说明矩阵乘法不交换 (\(AB \ne BA\))?¶

3. 🟢【L1】\(n \times n\) 单位矩阵 \(I_n\) 满足¶

4. 🟡【L2】关于矩阵乘法结合律 \((AB)C = A(BC)\), 下列说法正确的是¶

5. 🟡【L4】以下哪个矩阵不可逆 (反例识别)?¶

6. 🟡【L2】\(2 \times 2\) 矩阵 $$¶

7. 🟢【L1】对任意可乘矩阵 \(A, B\), 转置公式为¶

8. 🟡【L4】设 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), 下列不是线性映射的是 (反例识别)¶

9. 🟡【L2】设 \(A\) 在旧基下矩阵, \(P\) 的列为新基向量在旧基下的坐标, 则新基下的矩阵 \(\tilde A\) 为¶

10. 🟢【L2】\(3 \times 4\) 矩阵 \(A\) 的秩最大可能为¶

二、填空题 (7 × 2 = 14 分)¶

11. 🟢【L1】设 \(I_3\) 为三阶单位矩阵, 则 $I_3^{100} = $ __, $\det(I_3) = $ ____。¶

12. 🟢【L3】设 $$¶

13. 🟢【L3】设 $$¶

14. 🟡【L3】设 $$¶

15. 🟢【L1】对可逆矩阵 \(A, B\) (同阶), 有 $(AB)^{-1} = $ ; 对可乘矩阵 \(A, B\), 有 $(AB)^T = $ __。¶

16. 🟡【L3】设 $$¶

17. 🟡【L2】PyTorch 形状识别: 定义线性层 `layer = nn.Linear(in_features=784, out_features=10)`, 则¶

三、简答题 (6 × 6 = 36 分)¶

18. 🟡【L2】陈述线性映射的两条独立公理及由此推出的一个推论, 每条给出大白话解释 + 违反反例。¶

19. 🟡【L4】判断并说明理由: 若矩阵 \(A, B\) 满足 \(AB = 0\) (零矩阵), 是否必有 \(A = 0\) 或 \(B = 0\)?¶

20. 🔴【L5】给定 $$¶

21. 🟡【L4】证明: 若 \(A, B\) 均为 \(n \times n\) 可逆矩阵, 则 \(AB\) 可逆, 且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。¶

22. 🔴【L5】对 $$¶

23. 🔴【L5】设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵, 秩为 \(r\)。回答:¶

四、编程题 (2 × 10 = 20 分)¶

24. 🟡【L3】用 NumPy 实现相似变换验证器¶

25. 🔴【L6】自造场景: 构造并验证线性映射的两条公理¶

公理	数学表达	大白话	违反反例
加性 (Additivity)	\(T(u+v) = T(u) + T(v)\)	先加再变换 = 先变换再加	\(T(x)=x^2\): \(T(1+1)=4 \ne T(1)+T(1)=2\)
齐次 (Homogeneity)	\(T(cu) = cT(u)\)	放大 \(c\) 倍再变换 = 变换后放大 \(c\) 倍	\(T(x)=\\|x\\|\): \(T(-1 \cdot 1)=1 \ne (-1)T(1)=-1\)

Ch02 矩阵 · 阶段测试卷 (25 题 / 100 分)¶

一、选择题 (10 × 3 = 30 分)¶

1. 🟢【L1】设 \(A\) 为 \(3 \times 4\) 矩阵, \(B\) 为 \(4 \times 5\) 矩阵, 则 \(AB\) 的尺寸是¶

2. 🟢【L2】以下反例中, 哪一组 \(A, B\) 说明矩阵乘法不交换 (\(AB \ne BA\))?¶

3. 🟢【L1】\(n \times n\) 单位矩阵 \(I_n\) 满足¶

4. 🟡【L2】关于矩阵乘法结合律 \((AB)C = A(BC)\), 下列说法正确的是¶

5. 🟡【L4】以下哪个矩阵不可逆 (反例识别)?¶

6. 🟡【L2】\(2 \times 2\) 矩阵 $$¶

7. 🟢【L1】对任意可乘矩阵 \(A, B\), 转置公式为¶

8. 🟡【L4】设 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), 下列不是线性映射的是 (反例识别)¶

9. 🟡【L2】设 \(A\) 在旧基下矩阵, \(P\) 的列为新基向量在旧基下的坐标, 则新基下的矩阵 \(\tilde A\) 为¶

10. 🟢【L2】\(3 \times 4\) 矩阵 \(A\) 的秩最大可能为¶

二、填空题 (7 × 2 = 14 分)¶

11. 🟢【L1】设 \(I_3\) 为三阶单位矩阵, 则 $I_3^{100} = $ __, $\det(I_3) = $ ____。¶

12. 🟢【L3】设 $$¶

13. 🟢【L3】设 $$¶

14. 🟡【L3】设 $$¶

15. 🟢【L1】对可逆矩阵 \(A, B\) (同阶), 有 $(AB)^{-1} = $ __; 对可乘矩阵 \(A, B\), 有 $(AB)^T = $ ____。¶

16. 🟡【L3】设 $$¶

17. 🟡【L2】PyTorch 形状识别: 定义线性层 layer = nn.Linear(in_features=784, out_features=10), 则¶

三、简答题 (6 × 6 = 36 分)¶

18. 🟡【L2】陈述线性映射的两条独立公理及由此推出的一个推论, 每条给出大白话解释 + 违反反例。¶

19. 🟡【L4】判断并说明理由: 若矩阵 \(A, B\) 满足 \(AB = 0\) (零矩阵), 是否必有 \(A = 0\) 或 \(B = 0\)?¶

20. 🔴【L5】给定 $$¶

21. 🟡【L4】证明: 若 \(A, B\) 均为 \(n \times n\) 可逆矩阵, 则 \(AB\) 可逆, 且 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)。¶

22. 🔴【L5】对 $$¶

23. 🔴【L5】设 \(A\) 为 \(m \times n\) 矩阵, 秩为 \(r\)。回答:¶

四、编程题 (2 × 10 = 20 分)¶

24. 🟡【L3】用 NumPy 实现相似变换验证器¶

25. 🔴【L6】自造场景: 构造并验证线性映射的两条公理¶

15. 🟢【L1】对可逆矩阵 \(A, B\) (同阶), 有 $(AB)^{-1} = $ ; 对可乘矩阵 \(A, B\), 有 $(AB)^T = $ __。¶

17. 🟡【L2】PyTorch 形状识别: 定义线性层 `layer = nn.Linear(in_features=784, out_features=10)`, 则¶