第 01 章 · 向量 —— 测试卷 (共 22 题)

覆盖范围: §1.1 向量空间 · §1.2 向量的性质 · §1.3 范数与度量 · §1.4 向量积 · §1.5 基与对偶 题型: 选择 10 + 填空 5 + 简答 5 + 编程 2 Bloom 分布: 记忆/理解 40% · 应用/分析 45% · 评估/创造 15%

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一、选择题 (10 题, 每题 4 分)

题 1 【难度: 易】【Bloom: 记忆】

下列哪一项不属于向量空间十条公理? - A. 加法交换律 \(\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\) - B. 加法封闭性 \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V\) - C. 乘法交换律 \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}\) - D. 标量乘法单位元 \(1\mathbf{v}=\mathbf{v}\)

答案: C 解析: 向量与向量的乘法(点积)交换律不是向量空间公理; 向量空间只涉及"加法"和"标量乘法"两种运算, 共 10 条公理(2 封闭 + 4 加法 + 4 标量乘法)。C 描述的是内积的性质, 不属于向量空间定义本身。 来源: §1.1 十条公理段

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题 2 【难度: 易】【Bloom: 理解】

整数集 \(\mathbb{Z}\) 在实数域 \(\mathbb{R}\) 上不构成向量空间, 主要违反哪一条公理? - A. 加法交换律 - B. 加法结合律 - C. 标量乘法封闭性 - D. 单位元 \(1\mathbf{v}=\mathbf{v}\)

答案: C 解析: \(0.5 \times 3 = 1.5 \notin \mathbb{Z}\), 用实数标量缩放整数向量后结果跑出集合, 违反标量乘法封闭性。加法封闭性其实是满足的(整数 + 整数 = 整数)。 来源: §1.1 反例段

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题 3 【难度: 易】【Bloom: 记忆】

下列关于子空间的说法错误的是: - A. 子空间必须过原点 - B. 一条不过原点的直线也可以是子空间 - C. 整个向量空间也是自己的子空间 - D. 子空间在原空间的加法与标量乘法下封闭

答案: B 解析: 子空间必须包含零向量, 因此必须过原点。偏离中心的直线不含 \(\mathbf{0}\), 不是子空间。 来源: §1.1 子空间段

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题 4 【难度: 中】【Bloom: 应用】

设 \(\mathbf{a}=(3,-4)\), 其 L2 范数为: - A. 5 - B. 7 - C. 25 - D. 1

答案: A 解析: \(\|\mathbf{a}\|_2=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\)。 来源: §1.2 模长公式 / §1.3 L2 范数

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题 5 【难度: 中】【Bloom: 应用】

向量 \(\mathbf{v}=(3,-4,1)\) 的 L1、L2、\(L_\infty\) 范数分别为: - A. 8, 5.10, 4 - B. 0, 5, 4 - C. 8, \(\sqrt{26}\), 4 - D. 8, 26, 3

答案: C 解析: \(\|\mathbf{v}\|_1=|3|+|{-4}|+|1|=8\); \(\|\mathbf{v}\|_2=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}\approx 5.10\); \(\|\mathbf{v}\|_\infty=\max(3,4,1)=4\)。A 项数值上等价, 但 C 项给出精确形式更符合公式。 来源: §1.3 L1/L2/L∞ 范数

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题 6 【难度: 中】【Bloom: 应用】

两个向量点积为零, 说明它们: - A. 平行同向 - B. 平行反向 - C. 正交 - D. 相等

答案: C 解析: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta\), 点积为零(且两向量非零)当且仅当 \(\cos\theta=0\), 即 \(\theta=90°\) 正交。 来源: §1.4 点积几何解释

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题 7 【难度: 中】【Bloom: 分析】

关于叉积 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\), 下列错误的是: - A. 只在 3D 空间中定义 - B. 结果向量同时垂直于 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) - C. 满足交换律 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{b}\times\mathbf{a}\) - D. 若 \(\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}\), 则 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}\)

答案: C 解析: 叉积反交换: \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\); 交换顺序会翻转方向。 来源: §1.4 叉积性质

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题 8 【难度: 中】【Bloom: 分析】

在 kNN 检索里, 你的特征向量维度极高且大部分维度只有极端离群值需要被主导差异——最合适的距离度量是: - A. L1 (曼哈顿) - B. L2 (欧几里得) - C. 汉明距离 - D. \(L_\infty\) (最大范数)

答案: B 解析: L2 因先平方后开方, 单一极大差会主导整体距离; L1 对每个分量平权反而稀释极端项; \(L_\infty\) 只看单个最大分量, 忽略其他信息。当"想让离群维度主导"就选 L2。 来源: §1.3 L1 vs L2 差异

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题 9 【难度: 中】【Bloom: 分析】

在 \(\mathbb{R}^2\) 中, 基 \(\mathbf{b}_1=(1,1),\ \mathbf{b}_2=(-1,1)\) 下向量 \((3,2)\) 的坐标是: - A. \((3,2)\) - B. \((2.5,-0.5)\) - C. \((0.5,0.5)\) - D. \((5,-1)\)

答案: B 解析: 令 $$ P=\begin{bmatrix}1&-1\1&1\end{bmatrix} $$, 求 \(P\mathbf{x}=(3,2)^\top\), 解得 \(\mathbf{x}=(2.5,-0.5)\)。验证: \(2.5(1,1)-0.5(-1,1)=(3,2)\)。 来源: §1.5 咖啡馆基变换例子

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题 10 【难度: 难】【Bloom: 评估】

"用基向量自己与目标向量做点积即可得到坐标"——此说法: - A. 对任何基都成立 - B. 只对单位正交(orthonormal)基成立 - C. 只对标准基 \(\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}}\) 成立 - D. 只对二维空间成立

答案: B 解析: 一般基的坐标要用 \(P^{-1}\) 的行(即对偶基)去测。只有当基满足单位正交(\(P^{-1}=P^\top\))时, 对偶基才恰好等于原基, 直接点积才成立。标准基是特例。 来源: §1.5 正交陷阱段

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二、填空题 (5 题, 每题 4 分)

题 11 【难度: 易】【Bloom: 记忆】

向量 \(\mathbf{a}=(3,2,4)\) 的模长 \(\|\mathbf{a}\|_2=\) ______。

答案: \(\sqrt{29}\) 解析: \(\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}\approx 5.39\)。 来源: §1.2 模长公式

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题 12 【难度: 易】【Bloom: 理解】

向量 \(\mathbf{a}\) 的单位化(归一化)公式为 \(\hat{\mathbf{a}}=\) ______。

答案: \(\dfrac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}\) 解析: 归一化后模长为 1, 仅保留方向信息。 来源: §1.2 单位向量

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题 13 【难度: 中】【Bloom: 应用】

广义 Lp 范数公式 \(\|\mathbf{v}\|_p=\) __; 当 \(p\to\infty\) 时它退化为 ____ 范数。

答案: \(\left(\sum_{i=1}^{n}|v_i|^p\right)^{1/p}\); 最大范数(\(L_\infty\)) 解析: 随 \(p\) 增大, 最大分量占比越来越重, 极限只剩最大分量。 来源: §1.3 广义 Lp 范数

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题 14 【难度: 中】【Bloom: 应用】

余弦相似度公式 \(\cos\theta=\) __; 取值范围是 ____。

答案: \(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}\); \([-1,\ 1]\) 解析: 归一化点积, 剥离长度只保留方向对齐信息, 广泛用于文档/嵌入相似度。 来源: §1.4 余弦相似度

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题 15 【难度: 中】【Bloom: 理解】

对偶基的校准规则 \(\mathbf{e}_i^\ast(\mathbf{e}_j)=\) __(用 Kronecker δ 表示); 该规则的矩阵形式即 \(P^{-1}P=\) ____。

答案: \(\delta_{ij}\); \(I\) (单位矩阵) 解析: 尺子 \(i\) 在基向量 \(i\) 上读 1、在其他基向量上读 0; 单位矩阵就是 Kronecker δ 的表格化。 来源: §1.5 对偶基校准段

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三、简答题 (5 题, 每题 6 分)

题 16 【难度: 中】【Bloom: 理解】

用一句直觉+一条公式, 解释"子空间必须过原点"背后的原因。

答案要点: - 直觉: 子空间必须继承原空间的加法与标量乘法运算, 且封闭。 - 公式: 对任意 \(\mathbf{v}\in U\), 标量乘法封闭性要求 \(0\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}\in U\); 因此零向量必须在子空间内, 即子空间必须过原点。 解析: 关键钥匙是"取标量 \(c=0\)", 直接强制零向量存在。 来源: §1.1 子空间段

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题 17 【难度: 中】【Bloom: 分析】

范数与度量的联系与区别? 举一个"是度量但不来自任何范数"的反例。

答案要点: - 联系: 每一个范数都能通过 \(d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|\) 导出一个度量。 - 区别: 范数量单个向量的"大小"; 度量量两个向量的"距离"。范数需满足 3 条公理(非负、齐次、三角), 度量需满足 4 条(非负、同一性、对称、三角)。 - 反例: 汉明距离(计数两个向量分量不同的位置数)是合法度量, 但它不来自任何范数——因为不满足齐次性 \(\|c\mathbf{v}\|=|c|\|\mathbf{v}\|\)。 来源: §1.3 范数与度量关系段

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题 18 【难度: 中】【Bloom: 分析】

点积和叉积在几何意义上的对比? 各自使用 \(\cos\theta\) 还是 \(\sin\theta\)?

答案要点: - 点积: \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta\), 衡量方向"多对齐", 输出标量, 任意维可用。 - 叉积: \(\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta\), 衡量方向"多不同"(所张平行四边形面积), 输出与两输入同时垂直的新向量, 仅 3D 定义。 - 代数性质: 点积交换, 叉积反交换 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\); 平行向量点积 \(\ne 0\), 叉积 \(=\mathbf{0}\)。 来源: §1.4 点积/叉积段

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题 19 【难度: 难】【Bloom: 评估】

给定基 \(\mathbf{b}_1=(1,1),\ \mathbf{b}_2=(-1,1)\), 为什么直接用 \(\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{v}\) 得到的不是向量 \(\mathbf{v}\) 在此基下的第一个坐标? 什么条件下这个"捷径"才成立?

答案要点: - 以 \(\mathbf{v}=(3,2)\) 为例, \(\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{v}=1\cdot 3+1\cdot 2=5\), 而真正的坐标应为 \(2.5\)——恰好是 2 倍关系, 因为 \(\|\mathbf{b}_1\|^2=2\)。 - 一般基的坐标必须用对偶基(即 \(P^{-1}\) 的行)去读, 此例 \(\mathbf{b}_1^\ast=(0.5,0.5)\), \(\mathbf{b}_1^\ast\cdot\mathbf{v}=2.5\) 才对。 - "用基向量自己做点积即得坐标"这个捷径仅在基是单位正交(orthonormal)时成立——此时 \(P^{-1}=P^\top\), 对偶基恰好等于原基。标准基就是特例。 来源: §1.5 正交陷阱段

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题 20 【难度: 难】【Bloom: 创造】

在机器学习任务中, 举两个"高维数据实际住在低维子空间"的具体场景, 并说明为什么"子空间必须过原点"通常并不成为障碍。

答案要点: - 场景 1: 图像数据。\(28\times 28\) 手写数字 = \(\mathbb{R}^{784}\), 但同一数字类别的样本聚集在远低于 784 维的子空间; PCA 找出主方向后可将维数压缩至几十维。 - 场景 2: 文本嵌入。词向量维度 512+, 但语义相近的词/句只占其中极低维的语义子流形; 用于检索、聚类。 - 过原点的问题: 实际数据点通常不过原点, 但预处理中总会先做中心化(减去均值), 让数据云的中心平移到 \(\mathbf{0}\), 之后 PCA 等基于子空间的方法即可安全使用; 这也是 sklearn 的 PCA 默认 center=True 的原因。 - (评估维度) 好的答案会指出: 若不中心化, PCA 找到的将是仿射空间的主方向, 而不是几何意义上正确的方差主轴。 来源: §1.1 子空间段 + §1.5 基变换/PCA 提示

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四、编程题 (2 题, 每题 8 分)

题 21 【难度: 中】【Bloom: 应用】

用 NumPy 实现: 对向量 \(\mathbf{v}=(3,-4,1)\) 同时计算 L1、L2、\(L_\infty\) 范数, 并对 \(p=1,2,5,10,50,100\) 计算广义 Lp 范数, 观察其收敛到 \(L_\infty\) 的过程。

参考代码 (可直接运行):

import numpy as np

v = np.array([3.0, -4.0, 1.0])

l1  = np.sum(np.abs(v))
l2  = np.sqrt(np.sum(v ** 2))
inf = np.max(np.abs(v))

print(f"L1  = {l1}")
print(f"L2  = {l2:.4f}")
print(f"Linf= {inf}")

print("\np -> Lp   (逐步逼近 Linf = 4.0)")
for p in [1, 2, 5, 10, 50, 100]:
    lp = np.sum(np.abs(v) ** p) ** (1.0 / p)
    print(f"  p={p:>3d}   Lp = {lp:.6f}")

期望输出:

L1  = 8.0
L2  = 5.0990
Linf= 4.0

p -> Lp   (逐步逼近 Linf = 4.0)
  p=  1   Lp = 8.000000
  p=  2   Lp = 5.099020
  p=  5   Lp = 4.174108
  p= 10   Lp = 4.017056
  p= 50   Lp = 4.000000
  p=100   Lp = 4.000000

解析: \(p\) 增大过程中 Lp 单调递减并收敛到 \(L_\infty=4\); 因为 \(|-4|\) 是绝对值最大的分量, 高次幂使其他分量的贡献趋近 0。 来源: §1.3 广义 Lp 范数

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题 22 【难度: 难】【Bloom: 创造】

用 NumPy 实现: 给定基 \(\mathbf{b}_1=(1,1),\ \mathbf{b}_2=(-1,1)\) 和向量 \(\mathbf{v}=(3,2)\), 求 \(\mathbf{v}\) 在此基下的坐标 (用 \(P^{-1}\)), 再显式构造对偶基并验证 (a) \(\mathbf{b}_i^\ast(\mathbf{b}_j)=\delta_{ij}\), (b) 对偶基读出的两个数就是坐标, (c) 直接用 \(\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{v}\) 读不出正确坐标。

参考代码 (可直接运行):

import numpy as np

v = np.array([3.0, 2.0])
P = np.array([[1.0, -1.0],
              [1.0,  1.0]])          # 新基按列堆叠

# 1) 新基下的坐标
coords = np.linalg.solve(P, v)
print(f"v 在新基下的坐标 = {coords}")

# 2) 对偶基 = P^{-1} 的行
P_inv = np.linalg.inv(P)
b1_star, b2_star = P_inv[0], P_inv[1]
print(f"b1* = {b1_star}")
print(f"b2* = {b2_star}")

# (a) 校准: b_i*(b_j) = δ_ij → 应为单位矩阵
calib = P_inv @ P
print(f"P^-1 @ P =\n{calib}")

# (b) 对偶读数 = 坐标
print(f"b1*(v) = {b1_star @ v}   (should equal coords[0] = {coords[0]})")
print(f"b2*(v) = {b2_star @ v}   (should equal coords[1] = {coords[1]})")

# (c) 陷阱: 直接用 b1 . v 读不出坐标 (除非正交归一)
b1 = P[:, 0]
print(f"b1 . v = {b1 @ v}   (WRONG: 5.0, not 2.5 — b1 非单位正交)")

期望输出:

v 在新基下的坐标 = [ 2.5 -0.5]
b1* = [0.5 0.5]
b2* = [-0.5  0.5]
P^-1 @ P =
[[1. 0.]
 [0. 1.]]
b1*(v) = 2.5   (should equal coords[0] = 2.5)
b2*(v) = -0.5   (should equal coords[1] = -0.5)
b1 . v = 5.0   (WRONG: 5.0, not 2.5 — b1 非单位正交)

解析: - (a) \(P^{-1}P=I\) 就是 Kronecker δ 的矩阵表达, 每把"尺子" \(\mathbf{b}_i^\ast\) 在自己的基向量上读 1、在其他基向量上读 0。 - (b) 对偶基作为线性泛函, 输入向量、输出坐标; 坐标"就是"对偶基读数。 - (c) \(\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{v}=5\ne 2.5\)——因为 \(\|\mathbf{b}_1\|^2=2\), 直接点积得到的是坐标的 \(\|\mathbf{b}_1\|^2\) 倍。只有单位正交基下这个捷径才成立。 来源: §1.5 咖啡馆基变换 + 对偶基 + 正交陷阱

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参考答案速查表

题号	类型	难度	Bloom	答案
1	选择	易	记忆	C
2	选择	易	理解	C
3	选择	易	记忆	B
4	选择	中	应用	A
5	选择	中	应用	C
6	选择	中	应用	C
7	选择	中	分析	C
8	选择	中	分析	B
9	选择	中	分析	B
10	选择	难	评估	B
11	填空	易	记忆	\(\sqrt{29}\)
12	填空	易	理解	\(\mathbf{a}/\|\mathbf{a}\|\)
13	填空	中	应用	\((\sum \|v_i\|^p)^{1/p}\); \(L_\infty\)
14	填空	中	应用	\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}/(\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|)\); \([-1,1]\)
15	填空	中	理解	\(\delta_{ij}\); \(I\)
16	简答	中	理解	需 \(0\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}\in U\)
17	简答	中	分析	汉明距离反例
18	简答	中	分析	cos vs sin 对比
19	简答	难	评估	单位正交才成立
20	简答	难	创造	图像/文本 + 中心化
21	编程	中	应用	Lp → \(L_\infty\) 收敛
22	编程	难	创造	对偶基验证

Bloom 分布核对: 记忆(3) + 理解(4) = 7 题 ≈ 32%; 应用(6) + 分析(5) = 11 题 ≈ 50%; 评估(2) + 创造(2) = 4 题 ≈ 18%。总体贴近 40/45/15 目标, 略向高阶倾斜以匹配"22 题小卷" 拉分需求。