Ch04 统计学 · 闪卡 (Anki 导出)¶

卡片 1（🟢 定义）¶

Q: 概率空间由哪三个对象组成？ A: 概率空间是三元组 \((\Omega,\mathcal{F},P)\)：\(\Omega\) 为样本空间，\(\mathcal{F}\) 为事件集合，\(P\) 为定义在事件上的概率函数。例如掷骰子 \(\Omega=\{1,\dots,6\}\)。提示: 结果、事件、概率。来源: 01.概率基础 §定义

卡片 2（🟢 定义）¶

Q: 概率公理 K1 是什么？给出纯净违反反例。 A: K1 非负性：任意事件 \(A\) 都满足 \(P(A)\ge0\)，即概率不能为负。反例：若规定 \(P(\{1\})=-0.1\)，则直接违反 K1。提示: 只检查负值。来源: 01.概率基础 §公理

卡片 3（🟢 定义）¶

Q: 概率公理 K2 是什么？给出纯净违反反例。 A: K2 规范化：\(P(\Omega)=1\)，必然事件概率为 1。反例：样本空间 \(\Omega=\{正面,反面\}\)，若规定 \(P(\Omega)=0.9\)，则违反 K2。提示: 全部结果概率必须为 1。来源: 01.概率基础 §公理

卡片 4（🟢 定义）¶

Q: 概率公理 K3 是什么？给出纯净违反反例。 A: K3 可列可加性：两两互斥事件 \(A_1,A_2,\ldots\) 满足 \(P(\bigcup_iA_i)=\sum_iP(A_i)\)。反例：\(A,B\) 互斥，若 \(P(A)=0.4,P(B)=0.3\) 却规定 \(P(A\cup B)=0.8\)，违反 K3。提示: 互斥并集等于概率相加。来源: 01.概率基础 §公理

卡片 5（🟢 公式）¶

Q: 如何由概率公理推出补集公式？ A: \(A\) 与 \(A^c\) 互斥且并为 \(\Omega\)，所以 \(P(A)+P(A^c)=1\)，即 \(P(A^c)=1-P(A)\)。若 \(P(A)=0.7\)，则 \(P(A^c)=0.3\)。提示: 先拆全体事件。来源: 01.概率基础 §公式

卡片 6（🟡 公式）¶

Q: 如何计算两个事件并集概率？ A: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)。若 \(P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A\cap B)=0.2\)，则并集概率为 \(0.7\)。提示: 重叠部分只能算一次。来源: 01.概率基础 §公式

卡片 7（🟢 直觉）¶

Q: 为什么事件独立不等于事件互斥？ A: 独立表示一个事件发生不改变另一个概率：\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)；互斥表示不能同时发生：\(P(A\cap B)=0\)。若两事件概率都大于 0，二者不能同时成立。提示: 一个讲影响，一个讲共存。来源: 01.概率基础 §直觉

卡片 8（🔴 反例/易错）¶

Q: 把 \(P(A\mid B)\) 写成 \(P(B\mid A)\) 有何错误？ A: 条件方向相反，通常不相等。\(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\)，\(P(B\mid A)=P(A\cap B)/P(A)\)。例如 \(P(A)=0.2,P(B)=0.5,P(A\cap B)=0.1\)，二者分别为 \(0.2\) 与 \(0.5\)。提示: 分母决定方向。来源: 01.概率基础 §易错

卡片 9（🟢 定义）¶

Q: 什么是随机变量？离散随机变量如何表示？ A: 随机变量 \(X\) 是把样本结果映射为数值的函数。离散型 \(X\) 取可数值 \(x_i\)，以概率质量函数 \(p_X(x_i)=P(X=x_i)\) 描述。例如掷骰子时 \(X\) 可取 \(1,\ldots,6\)。提示: 它不是变量随意变化，而是结果的数值编码。来源: 02.随机变量与分布 §定义

卡片 10（🟢 定义）¶

Q: 什么是概率质量函数 PMF？必须满足什么条件？ A: PMF 为 \(p_X(x)=P(X=x)\)，满足 \(p_X(x)\ge0\) 且 \(\sum_xp_X(x)=1\)。例如公平骰子 \(p_X(3)=1/6\)，六个取值概率和为 1。提示: 离散型逐点计概率。来源: 02.随机变量与分布 §定义

卡片 11（🟢 定义）¶

Q: 什么是累积分布函数 CDF？ A: \(F_X(x)=P(X\le x)\)，表示随机变量不超过 \(x\) 的累计概率。它单调不减，且趋于负无穷时为 0、趋于正无穷时为 1。例如标准骰子 \(F_X(3)=3/6=0.5\)。提示: “不超过”是关键。来源: 02.随机变量与分布 §定义

卡片 12（🟡 公式）¶

Q: 期望和方差的公式是什么？ A: \(E[X]=\sum_xxp_X(x)\)；\(\mathrm{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2\)，其中 \(\mu=E[X]\)。公平骰子 \(E[X]=3.5\)，\(\mathrm{Var}(X)=35/12\)。提示: 方差衡量围绕均值的平方偏离。来源: 02.随机变量与分布 §公式

卡片 13（🟢 直觉）¶

Q: 期望是否一定等于某个实际可能取值？ A: 不一定。期望是长期平均，不要求是单次结果。公平骰子期望为 \(3.5\)，但骰子一次不可能掷出 \(3.5\)。提示: 平均位置不必是可观测点。来源: 02.随机变量与分布 §直觉

卡片 14（🟡 公式）¶

Q: 若 \(Y=aX+b\)，如何计算其期望和方差？ A: \(E[Y]=aE[X]+b\)；\(\mathrm{Var}(Y)=a^2\mathrm{Var}(X)\)。若 \(E[X]=2,\mathrm{Var}(X)=3,Y=2X+1\)，则 \(E[Y]=5,\mathrm{Var}(Y)=12\)。提示: 平移改变均值，不改变方差。来源: 02.随机变量与分布 §公式

卡片 15（🟡 直觉）¶

Q: 抽样分布与总体分布有什么区别？ A: 总体分布描述单个总体观测值 \(X\)；抽样分布描述统计量（如样本均值 \(\bar X\)）在反复抽样中的分布。前者研究个体，后者研究统计量。提示: 样本均值也会“随机”。来源: 02.随机变量与分布 §直觉

卡片 16（🔴 反例/易错）¶

Q: 为什么不能把样本标准差直接当作样本均值标准差？ A: 样本均值标准差是标准误：\(\mathrm{SE}(\bar X)=\sigma/\sqrt n\)，随 \(n\) 增大而减小；样本标准差 \(s\) 衡量个体离散程度。二者对象不同，不能混用。提示: 一个描述个体，一个描述均值估计。来源: 02.随机变量与分布 §易错

卡片 17（🟢 定义）¶

Q: 什么是总体、样本与统计量？ A: 总体是研究对象的全部集合；样本是从总体抽取的观测值 \(X_1,\ldots,X_n\)；统计量是仅由样本计算的量，如 \(\bar X=\frac1n\sum_iX_i\)，不含未知总体参数。提示: 参数来自总体，统计量来自样本。来源: 03.抽样与抽样分布 §定义

卡片 18（🟢 公式）¶

Q: 独立同分布样本均值的均值和方差是什么？ A: 若 \(X_i\) 独立同分布，\(E[X_i]=\mu,\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2\)，则 \(E[\bar X]=\mu\)，\(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\)，标准误为 \(\sigma/\sqrt n\)。提示: 平均后波动缩小 \(\sqrt n\) 倍。来源: 03.抽样与抽样分布 §公式

卡片 19（🟡 定义）¶

Q: 中心极限定理 CLT 的核心结论是什么？ A: 当样本量足够大且方差有限时，独立同分布样本均值近似正态：\(\bar X\approx N(\mu,\sigma^2/n)\)，即使总体分布本身不是正态。提示: 关注样本均值分布，不是总体分布。来源: 03.抽样与抽样分布 §定义

卡片 20（🟡 公式）¶

Q: 如何把样本均值标准化为 Z 分数？ A: \(Z=(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\)。若 \(\bar X=52,\mu=50,\sigma=10,n=100\)，则标准误为 1，\(Z=2\)。提示: 先算 \(\sigma/\sqrt n\)。来源: 03.抽样与抽样分布 §公式

卡片 21（🟡 直觉）¶

Q: CLT 的数字例子：\(n=30\) 抽样时发生什么？ A: 若总体均值 \(\mu=100\)、标准差 \(\sigma=15\)，反复抽取 \(n=30\) 个样本，\(\bar X\) 近似正态，均值约 \(100\)，标准误 \(\sigma/\sqrt n=15/\sqrt{30}\approx2.74\)。提示: 样本均值比个体更稳定。来源: 03.抽样与抽样分布 §直觉

卡片 22（🟡 直觉）¶

Q: 为什么 mini-batch SGD 与抽样分布有关？ A: mini-batch 是总体数据的随机样本；批量损失梯度是总体梯度的随机估计。增大 batch 通常降低梯度方差，但计算成本上升，体现 \(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\) 的规律。提示: 每个 batch 都是一次抽样。来源: 03.抽样与抽样分布 §AI/ML

卡片 23（🔴 反例/易错）¶

Q: “总体偏态，所以样本均值也一定偏态”错在哪里？ A: 混淆总体分布与抽样分布。CLT 表明在条件满足且 \(n\) 足够大时，样本均值分布可近似正态；总体偏态不直接决定大样本均值的形状。提示: 看的是 \(\bar X\) 的重复抽样。来源: 03.抽样与抽样分布 §易错

卡片 24（🟢 定义）¶

Q: 什么是零假设、备择假设和显著性水平 \(\alpha\)？ A: \(H_0\) 是待检验的基准命题，\(H_1\) 是与之竞争的命题。\(\alpha=P(\text{拒绝 }H_0\mid H_0\text{为真})\)，即一类错误概率，常设 \(0.05\)。提示: \(\alpha\) 是错拒真零假设。来源: 04.假设检验 §定义

卡片 25（🟢 定义）¶

Q: 什么是二类错误 \(\beta\) 和检验功效 \(1-\beta\)？ A: \(\beta=P(\text{不拒绝 }H_0\mid H_1\text{为真})\)，是漏掉真实效应的概率；功效 \(1-\beta\) 是正确拒绝错误 \(H_0\) 的概率。二者之和为 1。提示: \(\beta\) 漏报，\(1-\beta\) 检出。来源: 04.假设检验 §定义

卡片 26（🟢 定义）¶

Q: p 值的严格定义是什么？ A: p 值是在 \(H_0\) 成立时，观察到“至少与当前观测值一样极端”的结果的概率。它不是 \(H_0\) 为真的概率，也不是效应大小。提示: 条件是 \(H_0\)，尾部是至少一样极端。来源: 04.假设检验 §定义

卡片 27（🟡 公式）¶

Q: 双侧 Z 检验的 p 值如何计算？ A: 观测统计量为 \(z\) 时，双侧 p 值为 \(p=2[1-\Phi(|z|)]\)。若 \(z=2\)，标准正态尾概率约 \(0.0228\)，故 \(p\approx0.0456\)。提示: 先取绝对值，再乘两侧。来源: 04.假设检验 §公式

卡片 28（🟡 直觉）¶

Q: p 值小于 \(\alpha\) 时应如何决策？ A: 若 \(p<\alpha\)，拒绝 \(H_0\)；若 \(p\ge\alpha\)，不拒绝 \(H_0\)。不拒绝不等于证明 \(H_0\) 正确，只表示证据不足。提示: “不拒绝”不是“接受为真”。来源: 04.假设检验 §直觉

卡片 29（🟡 直觉）¶

Q: 假设检验如何对应 A/B 测试？ A: \(H_0\) 可设为“版本 A、B 转化率相同”，\(H_1\) 为“存在差异”。用样本差异计算 p 值；若 \(p<\alpha\)，判定差异具有统计证据，但仍需结合效应大小与业务成本。提示: 显著不等于值得上线。来源: 04.假设检验 §AI/ML

卡片 30（🔴 反例/易错）¶

Q: \(\alpha\)、\(\beta\) 与 \(1-\beta\) 分别表示什么？ A: \(\alpha\)：\(H_0\) 真却拒绝它（一类错误）；\(\beta\)：\(H_1\) 真却不拒绝 \(H_0\)（二类错误）；\(1-\beta\)：\(H_1\) 真且正确拒绝 \(H_0\)（功效）。三者不能混称。提示: 真值与决策组成四格表。来源: 04.假设检验 §易错

卡片 31（🟢 定义）¶

Q: 什么是点估计？什么是估计量与估计值？ A: 估计量是样本的函数，如 \(\hat\mu=\bar X\)；估计值是代入具体样本后得到的数字。样本 \((2,4,6)\) 的均值估计值为 \(\bar X=4\)。提示: 量是规则，值是结果。来源: 05.参数估计 §定义

卡片 32（🟢 定义）¶

Q: 无偏估计的定义是什么？ A: 估计量 \(\hat\theta\) 无偏，若 \(E[\hat\theta]=\theta\)。样本均值满足 \(E[\bar X]=\mu\)，因此是总体均值的无偏估计量。提示: 平均意义上不系统偏离真值。来源: 05.参数估计 §定义

卡片 33（🟡 公式）¶

Q: 总体方差未知时，均值置信区间如何写？ A: 正态总体且 \(\sigma\) 未知时，均值的 \(1-\alpha\) 置信区间为 \(\bar x\pm t_{1-\alpha/2,n-1}s/\sqrt n\)。例如 \(\bar x=10,s=2,n=25\)，区间为 \(10\pm t_{.975,24}(0.4)\)。提示: 未知 \(\sigma\) 用 t 分布。来源: 05.参数估计 §公式

卡片 34（🟢 定义）¶

Q: 频率学派置信区间的正确解释是什么？ A: \(95\%\) 置信区间指该构造方法在重复抽样中约 \(95\%\) 的区间包含真参数；不是说本次固定区间含真参数的概率为 \(95\%\)。提示: 概率属于方法的长期覆盖率。来源: 05.参数估计 §定义

卡片 35（🟢 定义）¶

Q: Bayes 信用区间与频率学派置信区间有何不同？ A: 置信区间是重复抽样方法的覆盖率陈述；Bayes 信用区间基于后验分布，直接表示给定数据后参数落入区间的后验概率，如 \(P(\theta\in I\mid D)=0.95\)。提示: 一个谈方法覆盖，一个谈后验概率。来源: 05.参数估计 §定义

卡片 36（🟡 公式）¶

Q: Bayes 公式是什么？单事件数字例如何算？ A: \(P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\)。若患病率 \(P(A)=0.01\)、阳性率 \(P(B\mid A)=0.9\)、\(P(B)=0.05\)，则 \(P(A\mid B)=0.9\times0.01/0.05=0.18\)。提示: 先乘先验与似然，再除证据。来源: 05.参数估计 §公式

卡片 37（🟡 公式）¶

Q: 朴素 Bayes 多条件公式是什么？给出数字例。 A: 朴素 Bayes 假设特征在类别 \(C\) 条件下独立：\(P(C\mid x_1,x_2)\propto P(C)P(x_1\mid C)P(x_2\mid C)\)。若两类得分分别为 \(0.6\cdot0.5\cdot0.4=0.12\)、\(0.4\cdot0.2\cdot0.8=0.064\)，选第一类。提示: 比较未归一化后验得分即可。来源: 05.参数估计 §公式

卡片 38（🟡 直觉）¶

Q: Fisher 信息表示什么？ A: Fisher 信息衡量数据对参数 \(\theta\) 的敏感程度：\(I(\theta)=E[(\partial_\theta\log p(X\mid\theta))^2]\)。信息越大，通常能达到的估计方差下界越小。提示: 参数改变，分布变化越明显，信息越多。来源: 05.参数估计 §直觉

卡片 39（🔴 反例/易错）¶

Q: 置信区间与预测区间为什么不能混用？ A: 置信区间估计总体均值等参数；预测区间预测一个未来个体观测值。后者还包含个体自身波动，通常更宽。例如均值区间可能为 \([9,11]\)，单个未来值区间可能为 \([5,15]\)。提示: 预测个体比估计平均值更不确定。来源: 05.参数估计 §易错

卡片 40（🔴 类比）¶

Q: 统计学中的 Fisher 信息矩阵与 Ch02 矩阵知识如何对应？ A: Fisher 信息矩阵是参数空间中的曲率度量，常写为 \(I(\theta)=E[\nabla\ell(\theta)\nabla\ell(\theta)^\top]\)；它类似损失函数 Hessian，描述不同参数方向的敏感度。这里 \(\nabla\ell\) 为列向量，矩阵形状为 \(d\times d\)。提示: 梯度给方向，二阶结构给曲率。来源: 05.参数估计 §进阶联系